Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54568 / 85234
↖ ↑ ↗
← S 47.491225°
W 30.124512°		 ← 206.38 m → S 47.491225°
W 30.121765°		 →
↑
206.36 m
↓
↑
206.36 m
↓
S 47.493081°
W 30.124512°		 ← 206.37 m →
42 587 m²		 S 47.493081°
W 30.121765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416324615478516 y=0.650287628173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416324615478516 × 217)
    floor (0.416324615478516 × 131072)
    floor (54568.5)     		tx = 54568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650287628173828 × 217)
    floor (0.650287628173828 × 131072)
    floor (85234.5)     		ty = 85234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54568 / 85234 ti = "17/54568/85234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54568/85234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54568 ÷ 217
    54568 ÷ 131072     		x = 0.41632080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85234 ÷ 217
    85234 ÷ 131072     		y = 0.650283813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41632080078125 × 2 - 1) × π
    -0.1673583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52577192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650283813476562 × 2 - 1) × π
    -0.300567626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.944261048715866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52577192} λ = -0.52577192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944261048715866))-π/2
    2×atan(0.388966892314977)-π/2
    2×0.370959043354466-π/2
    0.741918086708933-1.57079632675     		φ = -0.82887824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52577192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.124512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82887824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.491225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54568 KachelY 85234 -0.52577192 -0.82887824 -30.124512 -47.491225
    Oben rechts KachelX + 1 54569 KachelY 85234 -0.52572398 -0.82887824 -30.121765 -47.491225
    Unten links KachelX 54568 KachelY + 1 85235 -0.52577192 -0.82891063 -30.124512 -47.493081
    Unten rechts KachelX + 1 54569 KachelY + 1 85235 -0.52572398 -0.82891063 -30.121765 -47.493081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82887824--0.82891063) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dl = 206.356689999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82887824--0.82891063) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dr = 206.356689999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52577192--0.52572398) × cos(-0.82887824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675703117179125 × 6371000     		do = 206.377124584606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52577192--0.52572398) × cos(-0.82891063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675679239763413 × 6371000     		du = 206.369831807243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82887824)-sin(-0.82891063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675703117179125-0.675679239763413)×R²
    abs(-0.52572398--0.52577192)×2.38774157119703e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38774157119703e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38774157119703e-05×40589641000000     		ar = 42586.547867962m²