Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54565 / 85235
↖ ↑ ↗
← S 47.493081°
W 30.132752°		 ← 206.37 m → S 47.493081°
W 30.130005°		 →
↑
206.36 m
↓
↑
206.36 m
↓
S 47.494937°
W 30.132752°		 ← 206.36 m →
42 585 m²		 S 47.494937°
W 30.130005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416301727294922 y=0.650295257568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416301727294922 × 217)
    floor (0.416301727294922 × 131072)
    floor (54565.5)     		tx = 54565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650295257568359 × 217)
    floor (0.650295257568359 × 131072)
    floor (85235.5)     		ty = 85235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54565 / 85235 ti = "17/54565/85235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54565/85235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54565 ÷ 217
    54565 ÷ 131072     		x = 0.416297912597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85235 ÷ 217
    85235 ÷ 131072     		y = 0.650291442871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416297912597656 × 2 - 1) × π
    -0.167404174804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.52591573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650291442871094 × 2 - 1) × π
    -0.300582885742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.944308985615486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52591573} λ = -0.52591573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944308985615486))-π/2
    2×atan(0.38894824689501)-π/2
    2×0.370942848084375-π/2
    0.74188569616875-1.57079632675     		φ = -0.82891063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52591573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.132752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82891063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.493081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54565 KachelY 85235 -0.52591573 -0.82891063 -30.132752 -47.493081
    Oben rechts KachelX + 1 54566 KachelY 85235 -0.52586779 -0.82891063 -30.130005 -47.493081
    Unten links KachelX 54565 KachelY + 1 85236 -0.52591573 -0.82894302 -30.132752 -47.494937
    Unten rechts KachelX + 1 54566 KachelY + 1 85236 -0.52586779 -0.82894302 -30.130005 -47.494937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82891063--0.82894302) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dl = 206.356689999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82891063--0.82894302) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dr = 206.356689999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52591573--0.52586779) × cos(-0.82891063) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.675679239763413 × 6371000     		do = 206.36983180772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52591573--0.52586779) × cos(-0.82894302) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.675655361638838 × 6371000     		du = 206.362538813852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82891063)-sin(-0.82894302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675679239763413-0.675655361638838)×R²
    abs(-0.52586779--0.52591573)×2.38781245751607e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38781245751607e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38781245751607e-05×40589641000000     		ar = 42585.0429322564m²