Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54563 / 15247
↖ ↑ ↗
← N 79.742599°
W 30.138245°		 ← 54.39 m → N 79.742599°
W 30.135498°		 →
↑
54.41 m
↓
↑
54.41 m
↓
N 79.742109°
W 30.138245°		 ← 54.39 m →
2 959 m²		 N 79.742109°
W 30.135498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416286468505859 y=0.116329193115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416286468505859 × 217)
    floor (0.416286468505859 × 131072)
    floor (54563.5)     		tx = 54563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116329193115234 × 217)
    floor (0.116329193115234 × 131072)
    floor (15247.5)     		ty = 15247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54563 / 15247 ti = "17/54563/15247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54563/15247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54563 ÷ 217
    54563 ÷ 131072     		x = 0.416282653808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15247 ÷ 217
    15247 ÷ 131072     		y = 0.116325378417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416282653808594 × 2 - 1) × π
    -0.167434692382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.52601160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116325378417969 × 2 - 1) × π
    0.767349243164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.410698744993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52601160} λ = -0.52601160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.410698744993))-π/2
    2×atan(11.1417436633489)-π/2
    2×1.48128361134481-π/2
    2.96256722268961-1.57079632675     		φ = 1.39177090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52601160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.138245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39177090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.742599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54563 KachelY 15247 -0.52601160 1.39177090 -30.138245 79.742599
    Oben rechts KachelX + 1 54564 KachelY 15247 -0.52596366 1.39177090 -30.135498 79.742599
    Unten links KachelX 54563 KachelY + 1 15248 -0.52601160 1.39176236 -30.138245 79.742109
    Unten rechts KachelX + 1 54564 KachelY + 1 15248 -0.52596366 1.39176236 -30.135498 79.742109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39177090-1.39176236) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dl = 54.4083400003621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39177090-1.39176236) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dr = 54.4083400003621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52601160--0.52596366) × cos(1.39177090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178070660856099 × 6371000     		do = 54.3873633642275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52601160--0.52596366) × cos(1.39176236) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178079064360789 × 6371000     		du = 54.3899300108659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39177090)-sin(1.39176236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178070660856099-0.178079064360789)×R²
    abs(-0.52596366--0.52601160)×8.40350468975237e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.40350468975237e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.40350468975237e-06×40589641000000     		ar = 2959.19598114238m²