Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54561 / 15249
↖ ↑ ↗
← N 79.741620°
W 30.143738°		 ← 54.38 m → N 79.741620°
W 30.140991°		 →
↑
54.34 m
↓
↑
54.34 m
↓
N 79.741131°
W 30.143738°		 ← 54.38 m →
2 955 m²		 N 79.741131°
W 30.140991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416271209716797 y=0.116344451904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416271209716797 × 217)
    floor (0.416271209716797 × 131072)
    floor (54561.5)     		tx = 54561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116344451904297 × 217)
    floor (0.116344451904297 × 131072)
    floor (15249.5)     		ty = 15249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54561 / 15249 ti = "17/54561/15249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54561/15249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54561 ÷ 217
    54561 ÷ 131072     		x = 0.416267395019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15249 ÷ 217
    15249 ÷ 131072     		y = 0.116340637207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416267395019531 × 2 - 1) × π
    -0.167465209960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.52610747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116340637207031 × 2 - 1) × π
    0.767318725585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.41060287119376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52610747} λ = -0.52610747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41060287119376))-π/2
    2×atan(11.1406755132584)-π/2
    2×1.48127507478655-π/2
    2.9625501495731-1.57079632675     		φ = 1.39175382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52610747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.143738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39175382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.741620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54561 KachelY 15249 -0.52610747 1.39175382 -30.143738 79.741620
    Oben rechts KachelX + 1 54562 KachelY 15249 -0.52605954 1.39175382 -30.140991 79.741620
    Unten links KachelX 54561 KachelY + 1 15250 -0.52610747 1.39174529 -30.143738 79.741131
    Unten rechts KachelX + 1 54562 KachelY + 1 15250 -0.52605954 1.39174529 -30.140991 79.741131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39175382-1.39174529) × R
    8.52999999989557e-06 × 6371000     		dl = 54.3446299993346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39175382-1.39174529) × R
    8.52999999989557e-06 × 6371000     		dr = 54.3446299993346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52610747--0.52605954) × cos(1.39175382) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178087467852491 × 6371000     		do = 54.3811507010297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52610747--0.52605954) × cos(1.39174529) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178095861491073 × 6371000     		du = 54.3837137995463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39175382)-sin(1.39174529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178087467852491-0.178095861491073)×R²
    abs(-0.52605954--0.52610747)×8.39363858240461e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.39363858240461e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.39363858240461e-06×40589641000000     		ar = 2955.39315905753m²