Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54561 / 15207
↖ ↑ ↗
← N 79.762143°
W 30.143738°		 ← 54.27 m → N 79.762143°
W 30.140991°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
N 79.761655°
W 30.143738°		 ← 54.28 m →
2 946 m²		 N 79.761655°
W 30.140991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416271209716797 y=0.116024017333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416271209716797 × 217)
    floor (0.416271209716797 × 131072)
    floor (54561.5)     		tx = 54561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116024017333984 × 217)
    floor (0.116024017333984 × 131072)
    floor (15207.5)     		ty = 15207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54561 / 15207 ti = "17/54561/15207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54561/15207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54561 ÷ 217
    54561 ÷ 131072     		x = 0.416267395019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15207 ÷ 217
    15207 ÷ 131072     		y = 0.116020202636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416267395019531 × 2 - 1) × π
    -0.167465209960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.52610747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116020202636719 × 2 - 1) × π
    0.767959594726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.41261622097781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52610747} λ = -0.52610747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41261622097781))-π/2
    2×atan(11.1631281848534)-π/2
    2×1.48145417349174-π/2
    2.96290834698349-1.57079632675     		φ = 1.39211202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52610747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.143738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39211202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.762143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54561 KachelY 15207 -0.52610747 1.39211202 -30.143738 79.762143
    Oben rechts KachelX + 1 54562 KachelY 15207 -0.52605954 1.39211202 -30.140991 79.762143
    Unten links KachelX 54561 KachelY + 1 15208 -0.52610747 1.39210350 -30.143738 79.761655
    Unten rechts KachelX + 1 54562 KachelY + 1 15208 -0.52605954 1.39210350 -30.140991 79.761655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39211202-1.39210350) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39211202-1.39210350) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52610747--0.52605954) × cos(1.39211202) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17773498238337 × 6371000     		do = 54.2735150226332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52610747--0.52605954) × cos(1.39210350) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177743366724794 × 6371000     		du = 54.2760752821509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39211202)-sin(1.39210350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17773498238337-0.177743366724794)×R²
    abs(-0.52605954--0.52610747)×8.38434142469424e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.38434142469424e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.38434142469424e-06×40589641000000     		ar = 2946.08581364947m²