Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54560 / 15202
↖ ↑ ↗
← N 79.764584°
W 30.146484°		 ← 54.27 m → N 79.764584°
W 30.143738°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
N 79.764096°
W 30.146484°		 ← 54.27 m →
2 946 m²		 N 79.764096°
W 30.143738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416263580322266 y=0.115985870361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416263580322266 × 217)
    floor (0.416263580322266 × 131072)
    floor (54560.5)     		tx = 54560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115985870361328 × 217)
    floor (0.115985870361328 × 131072)
    floor (15202.5)     		ty = 15202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54560 / 15202 ti = "17/54560/15202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54560/15202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54560 ÷ 217
    54560 ÷ 131072     		x = 0.416259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15202 ÷ 217
    15202 ÷ 131072     		y = 0.115982055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416259765625 × 2 - 1) × π
    -0.16748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52615541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115982055664062 × 2 - 1) × π
    0.768035888671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41285590547591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52615541} λ = -0.52615541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41285590547591))-π/2
    2×atan(11.1658041343086)-π/2
    2×1.48147547113992-π/2
    2.96295094227984-1.57079632675     		φ = 1.39215462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52615541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.146484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39215462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.764584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54560 KachelY 15202 -0.52615541 1.39215462 -30.146484 79.764584
    Oben rechts KachelX + 1 54561 KachelY 15202 -0.52610747 1.39215462 -30.143738 79.764584
    Unten links KachelX 54560 KachelY + 1 15203 -0.52615541 1.39214610 -30.146484 79.764096
    Unten rechts KachelX + 1 54561 KachelY + 1 15203 -0.52610747 1.39214610 -30.143738 79.764096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39215462-1.39214610) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39215462-1.39214610) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52615541--0.52610747) × cos(1.39215462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17769306048273 × 6371000     		do = 54.2720344907671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52615541--0.52610747) × cos(1.39214610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177701444888658 × 6371000     		du = 54.2745953041521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39215462)-sin(1.39214610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17769306048273-0.177701444888658)×R²
    abs(-0.52610747--0.52615541)×8.38440592787482e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.38440592787482e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.38440592787482e-06×40589641000000     		ar = 2946.00546388936m²