Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5456 / 2096
↖ ↑ ↗
← N 82.608754°
W120.058594°		 ← 157.16 m → N 82.608754°
W120.047608°		 →
↑
157.17 m
↓
↑
157.17 m
↓
N 82.607341°
W120.058594°		 ← 157.19 m →
24 703 m²		 N 82.607341°
W120.047608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.166519165039062 y=0.0639801025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.166519165039062 × 215)
    floor (0.166519165039062 × 32768)
    floor (5456.5)     		tx = 5456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0639801025390625 × 215)
    floor (0.0639801025390625 × 32768)
    floor (2096.5)     		ty = 2096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5456 / 2096 ti = "15/5456/2096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5456/2096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5456 ÷ 215
    5456 ÷ 32768     		x = 0.16650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2096 ÷ 215
    2096 ÷ 32768     		y = 0.06396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16650390625 × 2 - 1) × π
    -0.6669921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09541776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06396484375 × 2 - 1) × π
    0.8720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.73968968708545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09541776} λ = -2.09541776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.73968968708545))-π/2
    2×atan(15.4821800304326)-π/2
    2×1.50629553754476-π/2
    3.01259107508952-1.57079632675     		φ = 1.44179475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09541776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.058594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44179475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.608754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5456 KachelY 2096 -2.09541776 1.44179475 -120.058594 82.608754
    Oben rechts KachelX + 1 5457 KachelY 2096 -2.09522601 1.44179475 -120.047608 82.608754
    Unten links KachelX 5456 KachelY + 1 2097 -2.09541776 1.44177008 -120.058594 82.607341
    Unten rechts KachelX + 1 5457 KachelY + 1 2097 -2.09522601 1.44177008 -120.047608 82.607341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44179475-1.44177008) × R
    2.46699999999489e-05 × 6371000     		dl = 157.172569999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44179475-1.44177008) × R
    2.46699999999489e-05 × 6371000     		dr = 157.172569999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09541776--2.09522601) × cos(1.44179475) × R
    0.000191749999999935 × 0.128644079767373 × 6371000     		do = 157.156657123901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09541776--2.09522601) × cos(1.44177008) × R
    0.000191749999999935 × 0.12866854474098 × 6371000     		du = 157.186544495909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44179475)-sin(1.44177008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.128644079767373-0.12866854474098)×R²
    abs(-2.09522601--2.09541776)×2.44649736071134e-05×R²
    0.000191749999999935×2.44649736071134e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.44649736071134e-05×40589641000000     		ar = 24703.0644318735m²