Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54559 / 15203
↖ ↑ ↗
← N 79.764096°
W 30.149231°		 ← 54.27 m → N 79.764096°
W 30.146484°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
N 79.763608°
W 30.149231°		 ← 54.28 m →
2 946 m²		 N 79.763608°
W 30.146484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416255950927734 y=0.115993499755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416255950927734 × 217)
    floor (0.416255950927734 × 131072)
    floor (54559.5)     		tx = 54559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115993499755859 × 217)
    floor (0.115993499755859 × 131072)
    floor (15203.5)     		ty = 15203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54559 / 15203 ti = "17/54559/15203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54559/15203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54559 ÷ 217
    54559 ÷ 131072     		x = 0.416252136230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15203 ÷ 217
    15203 ÷ 131072     		y = 0.115989685058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416252136230469 × 2 - 1) × π
    -0.167495727539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.52620335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115989685058594 × 2 - 1) × π
    0.768020629882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.41280796857629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52620335} λ = -0.52620335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41280796857629))-π/2
    2×atan(11.1652688931056)-π/2
    2×1.48147121201215-π/2
    2.96294242402431-1.57079632675     		φ = 1.39214610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52620335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.149231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39214610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.764096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54559 KachelY 15203 -0.52620335 1.39214610 -30.149231 79.764096
    Oben rechts KachelX + 1 54560 KachelY 15203 -0.52615541 1.39214610 -30.146484 79.764096
    Unten links KachelX 54559 KachelY + 1 15204 -0.52620335 1.39213758 -30.149231 79.763608
    Unten rechts KachelX + 1 54560 KachelY + 1 15204 -0.52615541 1.39213758 -30.146484 79.763608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39214610-1.39213758) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39214610-1.39213758) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52620335--0.52615541) × cos(1.39214610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177701444888658 × 6371000     		do = 54.2745953041521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52620335--0.52615541) × cos(1.39213758) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177709829281687 × 6371000     		du = 54.2771561135973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39214610)-sin(1.39213758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177701444888658-0.177709829281687)×R²
    abs(-0.52615541--0.52620335)×8.38439302844329e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.38439302844329e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.38439302844329e-06×40589641000000     		ar = 2946.14446729817m²