Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54559 / 13735
↖ ↑ ↗
← N 80.456322°
W 30.149231°		 ← 50.64 m → N 80.456322°
W 30.146484°		 →
↑
50.65 m
↓
↑
50.65 m
↓
N 80.455866°
W 30.149231°		 ← 50.64 m →
2 565 m²		 N 80.455866°
W 30.146484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416255950927734 y=0.104793548583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416255950927734 × 217)
    floor (0.416255950927734 × 131072)
    floor (54559.5)     		tx = 54559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104793548583984 × 217)
    floor (0.104793548583984 × 131072)
    floor (13735.5)     		ty = 13735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54559 / 13735 ti = "17/54559/13735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54559/13735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54559 ÷ 217
    54559 ÷ 131072     		x = 0.416252136230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13735 ÷ 217
    13735 ÷ 131072     		y = 0.104789733886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416252136230469 × 2 - 1) × π
    -0.167495727539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.52620335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104789733886719 × 2 - 1) × π
    0.790420532226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.48317933721853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52620335} λ = -0.52620335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48317933721853))-π/2
    2×atan(11.9792901405158)-π/2
    2×1.48751202307671-π/2
    2.97502404615342-1.57079632675     		φ = 1.40422772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52620335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.149231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40422772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.456322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54559 KachelY 13735 -0.52620335 1.40422772 -30.149231 80.456322
    Oben rechts KachelX + 1 54560 KachelY 13735 -0.52615541 1.40422772 -30.146484 80.456322
    Unten links KachelX 54559 KachelY + 1 13736 -0.52620335 1.40421977 -30.149231 80.455866
    Unten rechts KachelX + 1 54560 KachelY + 1 13736 -0.52615541 1.40421977 -30.146484 80.455866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40422772-1.40421977) × R
    7.94999999986779e-06 × 6371000     		dl = 50.6494499991577m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40422772-1.40421977) × R
    7.94999999986779e-06 × 6371000     		dr = 50.6494499991577m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52620335--0.52615541) × cos(1.40422772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165799430817129 × 6371000     		do = 50.6394138488673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52620335--0.52615541) × cos(1.40421977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.165807270779871 × 6371000     		du = 50.6418083752894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40422772)-sin(1.40421977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165799430817129-0.165807270779871)×R²
    abs(-0.52615541--0.52620335)×7.839962742201e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.839962742201e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.839962742201e-06×40589641000000     		ar = 2564.91910047355m²