Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54558 / 15204
↖ ↑ ↗
← N 79.763608°
W 30.151977°		 ← 54.27 m → N 79.763608°
W 30.149231°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
N 79.763120°
W 30.151977°		 ← 54.27 m →
2 946 m²		 N 79.763120°
W 30.149231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416248321533203 y=0.116001129150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416248321533203 × 217)
    floor (0.416248321533203 × 131072)
    floor (54558.5)     		tx = 54558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116001129150391 × 217)
    floor (0.116001129150391 × 131072)
    floor (15204.5)     		ty = 15204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54558 / 15204 ti = "17/54558/15204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54558/15204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54558 ÷ 217
    54558 ÷ 131072     		x = 0.416244506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15204 ÷ 217
    15204 ÷ 131072     		y = 0.115997314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416244506835938 × 2 - 1) × π
    -0.167510986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52625128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115997314453125 × 2 - 1) × π
    0.76800537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41276003167667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52625128} λ = -0.52625128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41276003167667))-π/2
    2×atan(11.1647336775598)-π/2
    2×1.48146695268346-π/2
    2.96293390536692-1.57079632675     		φ = 1.39213758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52625128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.151977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39213758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.763608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54558 KachelY 15204 -0.52625128 1.39213758 -30.151977 79.763608
    Oben rechts KachelX + 1 54559 KachelY 15204 -0.52620335 1.39213758 -30.149231 79.763608
    Unten links KachelX 54558 KachelY + 1 15205 -0.52625128 1.39212906 -30.151977 79.763120
    Unten rechts KachelX + 1 54559 KachelY + 1 15205 -0.52620335 1.39212906 -30.149231 79.763120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39213758-1.39212906) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39213758-1.39212906) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52625128--0.52620335) × cos(1.39213758) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177709829281687 × 6371000     		do = 54.2658342204425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52625128--0.52620335) × cos(1.39212906) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177718213661815 × 6371000     		du = 54.2683944917789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39213758)-sin(1.39212906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177709829281687-0.177718213661815)×R²
    abs(-0.52620335--0.52625128)×8.3843801284289e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.3843801284289e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.3843801284289e-06×40589641000000     		ar = 2945.66889300075m²