Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54557 / 85241
↖ ↑ ↗
← S 47.504214°
W 30.154724°		 ← 206.33 m → S 47.504214°
W 30.151977°		 →
↑
206.29 m
↓
↑
206.29 m
↓
S 47.506070°
W 30.154724°		 ← 206.32 m →
42 563 m²		 S 47.506070°
W 30.151977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416240692138672 y=0.650341033935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416240692138672 × 217)
    floor (0.416240692138672 × 131072)
    floor (54557.5)     		tx = 54557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650341033935547 × 217)
    floor (0.650341033935547 × 131072)
    floor (85241.5)     		ty = 85241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54557 / 85241 ti = "17/54557/85241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54557/85241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54557 ÷ 217
    54557 ÷ 131072     		x = 0.416236877441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85241 ÷ 217
    85241 ÷ 131072     		y = 0.650337219238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416236877441406 × 2 - 1) × π
    -0.167526245117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.52629922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650337219238281 × 2 - 1) × π
    -0.300674438476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.944596607013206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52629922} λ = -0.52629922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944596607013206))-π/2
    2×atan(0.388836393143134)-π/2
    2×0.370845688482275-π/2
    0.74169137696455-1.57079632675     		φ = -0.82910495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52629922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.154724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82910495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.504214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54557 KachelY 85241 -0.52629922 -0.82910495 -30.154724 -47.504214
    Oben rechts KachelX + 1 54558 KachelY 85241 -0.52625128 -0.82910495 -30.151977 -47.504214
    Unten links KachelX 54557 KachelY + 1 85242 -0.52629922 -0.82913733 -30.154724 -47.506070
    Unten rechts KachelX + 1 54558 KachelY + 1 85242 -0.52625128 -0.82913733 -30.151977 -47.506070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82910495--0.82913733) × R
    3.2380000000054e-05 × 6371000     		dl = 206.292980000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82910495--0.82913733) × R
    3.2380000000054e-05 × 6371000     		dr = 206.292980000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52629922--0.52625128) × cos(-0.82910495) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.67553597513043 × 6371000     		do = 206.326075100698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52629922--0.52625128) × cos(-0.82913733) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675512100127128 × 6371000     		du = 206.318783060147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82910495)-sin(-0.82913733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67553597513043-0.675512100127128)×R²
    abs(-0.52625128--0.52629922)×2.38750033021429e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38750033021429e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38750033021429e-05×40589641000000     		ar = 42562.8687396377m²