Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54555 / 85245
↖ ↑ ↗
← S 47.511635°
W 30.160217°		 ← 206.25 m → S 47.511635°
W 30.157471°		 →
↑
206.29 m
↓
↑
206.29 m
↓
S 47.513491°
W 30.160217°		 ← 206.25 m →
42 548 m²		 S 47.513491°
W 30.157471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416225433349609 y=0.650371551513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416225433349609 × 217)
    floor (0.416225433349609 × 131072)
    floor (54555.5)     		tx = 54555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650371551513672 × 217)
    floor (0.650371551513672 × 131072)
    floor (85245.5)     		ty = 85245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54555 / 85245 ti = "17/54555/85245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54555/85245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54555 ÷ 217
    54555 ÷ 131072     		x = 0.416221618652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85245 ÷ 217
    85245 ÷ 131072     		y = 0.650367736816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416221618652344 × 2 - 1) × π
    -0.167556762695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.52639509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650367736816406 × 2 - 1) × π
    -0.300735473632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.944788354611687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52639509} λ = -0.52639509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944788354611687))-π/2
    2×atan(0.388761841846292)-π/2
    2×0.370780926860114-π/2
    0.741561853720228-1.57079632675     		φ = -0.82923447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52639509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.160217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82923447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.511635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54555 KachelY 85245 -0.52639509 -0.82923447 -30.160217 -47.511635
    Oben rechts KachelX + 1 54556 KachelY 85245 -0.52634716 -0.82923447 -30.157471 -47.511635
    Unten links KachelX 54555 KachelY + 1 85246 -0.52639509 -0.82926685 -30.160217 -47.513491
    Unten rechts KachelX + 1 54556 KachelY + 1 85246 -0.52634716 -0.82926685 -30.157471 -47.513491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82923447--0.82926685) × R
    3.2380000000054e-05 × 6371000     		dl = 206.292980000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82923447--0.82926685) × R
    3.2380000000054e-05 × 6371000     		dr = 206.292980000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52639509--0.52634716) × cos(-0.82923447) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.67544047086782 × 6371000     		do = 206.253873328002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52639509--0.52634716) × cos(-0.82926685) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.675416593031666 × 6371000     		du = 206.246581943482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82923447)-sin(-0.82926685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67544047086782-0.675416593031666)×R²
    abs(-0.52634716--0.52639509)×2.38778361535408e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38778361535408e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38778361535408e-05×40589641000000     		ar = 42547.9740885597m²