Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54555 / 12763
↖ ↑ ↗
← N 80.888933°
W 30.160217°		 ← 48.35 m → N 80.888933°
W 30.157471°		 →
↑
48.36 m
↓
↑
48.36 m
↓
N 80.888498°
W 30.160217°		 ← 48.36 m →
2 338 m²		 N 80.888498°
W 30.157471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416225433349609 y=0.0973777770996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416225433349609 × 217)
    floor (0.416225433349609 × 131072)
    floor (54555.5)     		tx = 54555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0973777770996094 × 217)
    floor (0.0973777770996094 × 131072)
    floor (12763.5)     		ty = 12763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54555 / 12763 ti = "17/54555/12763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54555/12763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54555 ÷ 217
    54555 ÷ 131072     		x = 0.416221618652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12763 ÷ 217
    12763 ÷ 131072     		y = 0.0973739624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416221618652344 × 2 - 1) × π
    -0.167556762695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.52639509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0973739624023438 × 2 - 1) × π
    0.805252075195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.52977400364922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52639509} λ = -0.52639509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52977400364922))-π/2
    2×atan(12.5506694106488)-π/2
    2×1.4912872704476-π/2
    2.9825745408952-1.57079632675     		φ = 1.41177821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52639509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.160217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41177821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.888933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54555 KachelY 12763 -0.52639509 1.41177821 -30.160217 80.888933
    Oben rechts KachelX + 1 54556 KachelY 12763 -0.52634716 1.41177821 -30.157471 80.888933
    Unten links KachelX 54555 KachelY + 1 12764 -0.52639509 1.41177062 -30.160217 80.888498
    Unten rechts KachelX + 1 54556 KachelY + 1 12764 -0.52634716 1.41177062 -30.157471 80.888498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41177821-1.41177062) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dl = 48.3558900003649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41177821-1.41177062) × R
    7.59000000005727e-06 × 6371000     		dr = 48.3558900003649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52639509--0.52634716) × cos(1.41177821) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.158348788081928 × 6371000     		do = 48.353707376655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52639509--0.52634716) × cos(1.41177062) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.158356282316154 × 6371000     		du = 48.3559958312314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41177821)-sin(1.41177062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158348788081928-0.158356282316154)×R²
    abs(-0.52634716--0.52639509)×7.49423422541362e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.49423422541362e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.49423422541362e-06×40589641000000     		ar = 2338.24188511226m²