Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54551 / 15049
↖ ↑ ↗
← N 79.838987°
W 30.171203°		 ← 53.87 m → N 79.838987°
W 30.168457°		 →
↑
53.90 m
↓
↑
53.90 m
↓
N 79.838502°
W 30.171203°		 ← 53.87 m →
2 904 m²		 N 79.838502°
W 30.168457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416194915771484 y=0.114818572998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416194915771484 × 217)
    floor (0.416194915771484 × 131072)
    floor (54551.5)     		tx = 54551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114818572998047 × 217)
    floor (0.114818572998047 × 131072)
    floor (15049.5)     		ty = 15049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54551 / 15049 ti = "17/54551/15049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54551/15049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54551 ÷ 217
    54551 ÷ 131072     		x = 0.416191101074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15049 ÷ 217
    15049 ÷ 131072     		y = 0.114814758300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416191101074219 × 2 - 1) × π
    -0.167617797851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.52658684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114814758300781 × 2 - 1) × π
    0.770370483398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.42019025111777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52658684} λ = -0.52658684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42019025111777))-π/2
    2×atan(11.2479990557244)-π/2
    2×1.48212475616752-π/2
    2.96424951233505-1.57079632675     		φ = 1.39345319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52658684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.171203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39345319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.838987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54551 KachelY 15049 -0.52658684 1.39345319 -30.171203 79.838987
    Oben rechts KachelX + 1 54552 KachelY 15049 -0.52653891 1.39345319 -30.168457 79.838987
    Unten links KachelX 54551 KachelY + 1 15050 -0.52658684 1.39344473 -30.171203 79.838502
    Unten rechts KachelX + 1 54552 KachelY + 1 15050 -0.52653891 1.39344473 -30.168457 79.838502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39345319-1.39344473) × R
    8.46000000009894e-06 × 6371000     		dl = 53.8986600006304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39345319-1.39344473) × R
    8.46000000009894e-06 × 6371000     		dr = 53.8986600006304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52658684--0.52653891) × cos(1.39345319) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.176415006516612 × 6371000     		do = 53.8704445124088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52658684--0.52653891) × cos(1.39344473) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.176423333822617 × 6371000     		du = 53.872987355475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39345319)-sin(1.39344473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176415006516612-0.176423333822617)×R²
    abs(-0.52653891--0.52658684)×8.32730600525133e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.32730600525133e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.32730600525133e-06×40589641000000     		ar = 2903.61330076082m²