Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54547 / 15044
↖ ↑ ↗
← N 79.841409°
W 30.182190°		 ← 53.87 m → N 79.841409°
W 30.179443°		 →
↑
53.83 m
↓
↑
53.83 m
↓
N 79.840924°
W 30.182190°		 ← 53.87 m →
2 900 m²		 N 79.840924°
W 30.179443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416164398193359 y=0.114780426025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416164398193359 × 217)
    floor (0.416164398193359 × 131072)
    floor (54547.5)     		tx = 54547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114780426025391 × 217)
    floor (0.114780426025391 × 131072)
    floor (15044.5)     		ty = 15044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54547 / 15044 ti = "17/54547/15044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54547/15044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54547 ÷ 217
    54547 ÷ 131072     		x = 0.416160583496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15044 ÷ 217
    15044 ÷ 131072     		y = 0.114776611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416160583496094 × 2 - 1) × π
    -0.167678833007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.52677859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114776611328125 × 2 - 1) × π
    0.77044677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42042993561588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52677859} λ = -0.52677859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42042993561588))-π/2
    2×atan(11.2506953498498)-π/2
    2×1.48214589564542-π/2
    2.96429179129085-1.57079632675     		φ = 1.39349546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52677859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.182190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39349546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.841409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54547 KachelY 15044 -0.52677859 1.39349546 -30.182190 79.841409
    Oben rechts KachelX + 1 54548 KachelY 15044 -0.52673065 1.39349546 -30.179443 79.841409
    Unten links KachelX 54547 KachelY + 1 15045 -0.52677859 1.39348701 -30.182190 79.840924
    Unten rechts KachelX + 1 54548 KachelY + 1 15045 -0.52673065 1.39348701 -30.179443 79.840924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39349546-1.39348701) × R
    8.44999999993767e-06 × 6371000     		dl = 53.8349499996029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39349546-1.39348701) × R
    8.44999999993767e-06 × 6371000     		dr = 53.8349499996029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52677859--0.52673065) × cos(1.39349546) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.176373399326904 × 6371000     		do = 53.8689760058245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52677859--0.52673065) × cos(1.39348701) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.176381716852771 × 6371000     		du = 53.8715163923175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39349546)-sin(1.39348701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176373399326904-0.176381716852771)×R²
    abs(-0.52673065--0.52677859)×8.31752586744061e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.31752586744061e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.31752586744061e-06×40589641000000     		ar = 2900.10201069256m²