Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54546 / 15055
↖ ↑ ↗
← N 79.836079°
W 30.184937°		 ← 53.90 m → N 79.836079°
W 30.182190°		 →
↑
53.90 m
↓
↑
53.90 m
↓
N 79.835594°
W 30.184937°		 ← 53.90 m →
2 905 m²		 N 79.835594°
W 30.182190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416156768798828 y=0.114864349365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416156768798828 × 217)
    floor (0.416156768798828 × 131072)
    floor (54546.5)     		tx = 54546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114864349365234 × 217)
    floor (0.114864349365234 × 131072)
    floor (15055.5)     		ty = 15055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54546 / 15055 ti = "17/54546/15055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54546/15055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54546 ÷ 217
    54546 ÷ 131072     		x = 0.416152954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15055 ÷ 217
    15055 ÷ 131072     		y = 0.114860534667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416152954101562 × 2 - 1) × π
    -0.167694091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52682653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114860534667969 × 2 - 1) × π
    0.770278930664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.41990262972005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52682653} λ = -0.52682653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41990262972005))-π/2
    2×atan(11.2447643557212)-π/2
    2×1.48209938220988-π/2
    2.96419876441976-1.57079632675     		φ = 1.39340244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52682653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.184937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39340244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.836079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54546 KachelY 15055 -0.52682653 1.39340244 -30.184937 79.836079
    Oben rechts KachelX + 1 54547 KachelY 15055 -0.52677859 1.39340244 -30.182190 79.836079
    Unten links KachelX 54546 KachelY + 1 15056 -0.52682653 1.39339398 -30.184937 79.835594
    Unten rechts KachelX + 1 54547 KachelY + 1 15056 -0.52677859 1.39339398 -30.182190 79.835594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39340244-1.39339398) × R
    8.46000000009894e-06 × 6371000     		dl = 53.8986600006304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39340244-1.39339398) × R
    8.46000000009894e-06 × 6371000     		dr = 53.8986600006304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52682653--0.52677859) × cos(1.39340244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176464960320158 × 6371000     		do = 53.8969410898196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52682653--0.52677859) × cos(1.39339398) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176473287550408 × 6371000     		du = 53.8994844402808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39340244)-sin(1.39339398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176464960320158-0.176473287550408)×R²
    abs(-0.52677859--0.52682653)×8.32723024982163e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.32723024982163e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.32723024982163e-06×40589641000000     		ar = 2905.04144462748m²