Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54539 / 15050
↖ ↑ ↗
← N 79.838502°
W 30.204163°		 ← 53.88 m → N 79.838502°
W 30.201416°		 →
↑
53.90 m
↓
↑
53.90 m
↓
N 79.838017°
W 30.204163°		 ← 53.89 m →
2 904 m²		 N 79.838017°
W 30.201416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416103363037109 y=0.114826202392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416103363037109 × 217)
    floor (0.416103363037109 × 131072)
    floor (54539.5)     		tx = 54539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114826202392578 × 217)
    floor (0.114826202392578 × 131072)
    floor (15050.5)     		ty = 15050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54539 / 15050 ti = "17/54539/15050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54539/15050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54539 ÷ 217
    54539 ÷ 131072     		x = 0.416099548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15050 ÷ 217
    15050 ÷ 131072     		y = 0.114822387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416099548339844 × 2 - 1) × π
    -0.167800903320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.52716209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114822387695312 × 2 - 1) × π
    0.770355224609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42014231421815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52716209} λ = -0.52716209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42014231421815))-π/2
    2×atan(11.2474598744462)-π/2
    2×1.48212052767343-π/2
    2.96424105534686-1.57079632675     		φ = 1.39344473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52716209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.204163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39344473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.838502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54539 KachelY 15050 -0.52716209 1.39344473 -30.204163 79.838502
    Oben rechts KachelX + 1 54540 KachelY 15050 -0.52711415 1.39344473 -30.201416 79.838502
    Unten links KachelX 54539 KachelY + 1 15051 -0.52716209 1.39343627 -30.204163 79.838017
    Unten rechts KachelX + 1 54540 KachelY + 1 15051 -0.52711415 1.39343627 -30.201416 79.838017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39344473-1.39343627) × R
    8.4599999998769e-06 × 6371000     		dl = 53.8986599992157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39344473-1.39343627) × R
    8.4599999998769e-06 × 6371000     		dr = 53.8986599992157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52716209--0.52711415) × cos(1.39344473) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.176423333822617 × 6371000     		do = 53.8842272861293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52716209--0.52711415) × cos(1.39343627) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.176431661115995 × 6371000     		du = 53.8867706558715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39344473)-sin(1.39343627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176423333822617-0.176431661115995)×R²
    abs(-0.52711415--0.52716209)×8.32729337812976e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.32729337812976e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.32729337812976e-06×40589641000000     		ar = 2904.35618803686m²