Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54537 / 15054
↖ ↑ ↗
← N 79.836564°
W 30.209656°		 ← 53.89 m → N 79.836564°
W 30.206909°		 →
↑
53.90 m
↓
↑
53.90 m
↓
N 79.836079°
W 30.209656°		 ← 53.90 m →
2 905 m²		 N 79.836079°
W 30.206909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416088104248047 y=0.114856719970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416088104248047 × 217)
    floor (0.416088104248047 × 131072)
    floor (54537.5)     		tx = 54537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114856719970703 × 217)
    floor (0.114856719970703 × 131072)
    floor (15054.5)     		ty = 15054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54537 / 15054 ti = "17/54537/15054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54537/15054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54537 ÷ 217
    54537 ÷ 131072     		x = 0.416084289550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15054 ÷ 217
    15054 ÷ 131072     		y = 0.114852905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416084289550781 × 2 - 1) × π
    -0.167831420898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.52725796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114852905273438 × 2 - 1) × π
    0.770294189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41995056661967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52725796} λ = -0.52725796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41995056661967))-π/2
    2×atan(11.2453034077815)-π/2
    2×1.4821036117017-π/2
    2.9642072234034-1.57079632675     		φ = 1.39341090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52725796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.209656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39341090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.836564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54537 KachelY 15054 -0.52725796 1.39341090 -30.209656 79.836564
    Oben rechts KachelX + 1 54538 KachelY 15054 -0.52721002 1.39341090 -30.206909 79.836564
    Unten links KachelX 54537 KachelY + 1 15055 -0.52725796 1.39340244 -30.209656 79.836079
    Unten rechts KachelX + 1 54538 KachelY + 1 15055 -0.52721002 1.39340244 -30.206909 79.836079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39341090-1.39340244) × R
    8.4599999998769e-06 × 6371000     		dl = 53.8986599992157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39341090-1.39340244) × R
    8.4599999998769e-06 × 6371000     		dr = 53.8986599992157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52725796--0.52721002) × cos(1.39341090) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.176456633077279 × 6371000     		do = 53.8943977356258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52725796--0.52721002) × cos(1.39340244) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.176464960320158 × 6371000     		du = 53.8969410899444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39341090)-sin(1.39340244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176456633077279-0.176464960320158)×R²
    abs(-0.52721002--0.52725796)×8.32724287949671e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.32724287949671e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.32724287949671e-06×40589641000000     		ar = 2904.90436112557m²