Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54531 / 15101
↖ ↑ ↗
← N 79.813759°
W 30.226135°		 ← 54.01 m → N 79.813759°
W 30.223388°		 →
↑
54.03 m
↓
↑
54.03 m
↓
N 79.813274°
W 30.226135°		 ← 54.02 m →
2 918 m²		 N 79.813274°
W 30.223388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416042327880859 y=0.115215301513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416042327880859 × 217)
    floor (0.416042327880859 × 131072)
    floor (54531.5)     		tx = 54531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115215301513672 × 217)
    floor (0.115215301513672 × 131072)
    floor (15101.5)     		ty = 15101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54531 / 15101 ti = "17/54531/15101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54531/15101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54531 ÷ 217
    54531 ÷ 131072     		x = 0.416038513183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15101 ÷ 217
    15101 ÷ 131072     		y = 0.115211486816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416038513183594 × 2 - 1) × π
    -0.167922973632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.52754558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115211486816406 × 2 - 1) × π
    0.769577026367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.41769753233753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52754558} λ = -0.52754558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41769753233753))-π/2
    2×atan(11.219995873767)-π/2
    2×1.48190460970149-π/2
    2.96380921940298-1.57079632675     		φ = 1.39301289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52754558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.226135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39301289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.813759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54531 KachelY 15101 -0.52754558 1.39301289 -30.226135 79.813759
    Oben rechts KachelX + 1 54532 KachelY 15101 -0.52749764 1.39301289 -30.223388 79.813759
    Unten links KachelX 54531 KachelY + 1 15102 -0.52754558 1.39300441 -30.226135 79.813274
    Unten rechts KachelX + 1 54532 KachelY + 1 15102 -0.52749764 1.39300441 -30.223388 79.813274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39301289-1.39300441) × R
    8.47999999997739e-06 × 6371000     		dl = 54.026079999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39301289-1.39300441) × R
    8.47999999997739e-06 × 6371000     		dr = 54.026079999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52754558--0.52749764) × cos(1.39301289) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176848383682931 × 6371000     		do = 54.0140484541278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52754558--0.52749764) × cos(1.39300441) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176856730015711 × 6371000     		du = 54.0165976389933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39301289)-sin(1.39300441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176848383682931-0.176856730015711)×R²
    abs(-0.52749764--0.52754558)×8.34633277962959e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.34633277962959e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.34633277962959e-06×40589641000000     		ar = 2918.23616418706m²