Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54530 / 15102
↖ ↑ ↗
← N 79.813274°
W 30.228882°		 ← 54.02 m → N 79.813274°
W 30.226135°		 →
↑
53.96 m
↓
↑
53.96 m
↓
N 79.812788°
W 30.228882°		 ← 54.02 m →
2 915 m²		 N 79.812788°
W 30.226135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416034698486328 y=0.115222930908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416034698486328 × 217)
    floor (0.416034698486328 × 131072)
    floor (54530.5)     		tx = 54530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115222930908203 × 217)
    floor (0.115222930908203 × 131072)
    floor (15102.5)     		ty = 15102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54530 / 15102 ti = "17/54530/15102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54530/15102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54530 ÷ 217
    54530 ÷ 131072     		x = 0.416030883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15102 ÷ 217
    15102 ÷ 131072     		y = 0.115219116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416030883789062 × 2 - 1) × π
    -0.167938232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52759352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115219116210938 × 2 - 1) × π
    0.769561767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41764959543791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52759352} λ = -0.52759352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41764959543791))-π/2
    2×atan(11.2194580348423)-π/2
    2×1.48190037081994-π/2
    2.96380074163989-1.57079632675     		φ = 1.39300441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52759352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.228882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39300441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.813274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54530 KachelY 15102 -0.52759352 1.39300441 -30.228882 79.813274
    Oben rechts KachelX + 1 54531 KachelY 15102 -0.52754558 1.39300441 -30.226135 79.813274
    Unten links KachelX 54530 KachelY + 1 15103 -0.52759352 1.39299594 -30.228882 79.812788
    Unten rechts KachelX + 1 54531 KachelY + 1 15103 -0.52754558 1.39299594 -30.226135 79.812788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39300441-1.39299594) × R
    8.47000000003817e-06 × 6371000     		dl = 53.9623700002432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39300441-1.39299594) × R
    8.47000000003817e-06 × 6371000     		dr = 53.9623700002432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52759352--0.52754558) × cos(1.39300441) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.176856730015711 × 6371000     		do = 54.0165976391184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52759352--0.52754558) × cos(1.39299594) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.176865066493422 × 6371000     		du = 54.0191438139922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39300441)-sin(1.39299594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176856730015711-0.176865066493422)×R²
    abs(-0.52754558--0.52759352)×8.33647771081303e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.33647771081303e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.33647771081303e-06×40589641000000     		ar = 2914.93232663801m²