Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54525 / 85283
↖ ↑ ↗
← S 47.582084°
W 30.242615°		 ← 206.02 m → S 47.582084°
W 30.239868°		 →
↑
206.04 m
↓
↑
206.04 m
↓
S 47.583937°
W 30.242615°		 ← 206.01 m →
42 447 m²		 S 47.583937°
W 30.239868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415996551513672 y=0.650661468505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415996551513672 × 217)
    floor (0.415996551513672 × 131072)
    floor (54525.5)     		tx = 54525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650661468505859 × 217)
    floor (0.650661468505859 × 131072)
    floor (85283.5)     		ty = 85283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54525 / 85283 ti = "17/54525/85283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54525/85283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54525 ÷ 217
    54525 ÷ 131072     		x = 0.415992736816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85283 ÷ 217
    85283 ÷ 131072     		y = 0.650657653808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415992736816406 × 2 - 1) × π
    -0.168014526367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.52783320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650657653808594 × 2 - 1) × π
    -0.301315307617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.946609956797249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52783320} λ = -0.52783320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946609956797249))-π/2
    2×atan(0.388054317035537)-π/2
    2×0.370166148099454-π/2
    0.740332296198908-1.57079632675     		φ = -0.83046403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52783320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.242615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83046403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.582084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54525 KachelY 85283 -0.52783320 -0.83046403 -30.242615 -47.582084
    Oben rechts KachelX + 1 54526 KachelY 85283 -0.52778526 -0.83046403 -30.239868 -47.582084
    Unten links KachelX 54525 KachelY + 1 85284 -0.52783320 -0.83049637 -30.242615 -47.583937
    Unten rechts KachelX + 1 54526 KachelY + 1 85284 -0.52778526 -0.83049637 -30.239868 -47.583937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83046403--0.83049637) × R
    3.23399999999641e-05 × 6371000     		dl = 206.038139999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83046403--0.83049637) × R
    3.23399999999641e-05 × 6371000     		dr = 206.038139999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52783320--0.52778526) × cos(-0.83046403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.674533265131 × 6371000     		do = 206.019821657117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52783320--0.52778526) × cos(-0.83049637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.674509389952615 × 6371000     		du = 206.012529563091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83046403)-sin(-0.83049637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674533265131-0.674509389952615)×R²
    abs(-0.52778526--0.52783320)×2.3875178385202e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3875178385202e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3875178385202e-05×40589641000000     		ar = 42447.1896364431m²