Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54525 / 15111
↖ ↑ ↗
← N 79.808901°
W 30.242615°		 ← 54.04 m → N 79.808901°
W 30.239868°		 →
↑
54.03 m
↓
↑
54.03 m
↓
N 79.808415°
W 30.242615°		 ← 54.04 m →
2 920 m²		 N 79.808415°
W 30.239868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415996551513672 y=0.115291595458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415996551513672 × 217)
    floor (0.415996551513672 × 131072)
    floor (54525.5)     		tx = 54525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115291595458984 × 217)
    floor (0.115291595458984 × 131072)
    floor (15111.5)     		ty = 15111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54525 / 15111 ti = "17/54525/15111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54525/15111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54525 ÷ 217
    54525 ÷ 131072     		x = 0.415992736816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15111 ÷ 217
    15111 ÷ 131072     		y = 0.115287780761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415992736816406 × 2 - 1) × π
    -0.168014526367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.52783320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115287780761719 × 2 - 1) × π
    0.769424438476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.41721816334133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52783320} λ = -0.52783320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41721816334133))-π/2
    2×atan(11.2146186445491)-π/2
    2×1.48186221188493-π/2
    2.96372442376986-1.57079632675     		φ = 1.39292810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52783320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.242615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39292810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.808901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54525 KachelY 15111 -0.52783320 1.39292810 -30.242615 79.808901
    Oben rechts KachelX + 1 54526 KachelY 15111 -0.52778526 1.39292810 -30.239868 79.808901
    Unten links KachelX 54525 KachelY + 1 15112 -0.52783320 1.39291962 -30.242615 79.808415
    Unten rechts KachelX + 1 54526 KachelY + 1 15112 -0.52778526 1.39291962 -30.239868 79.808415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39292810-1.39291962) × R
    8.47999999997739e-06 × 6371000     		dl = 54.026079999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39292810-1.39291962) × R
    8.47999999997739e-06 × 6371000     		dr = 54.026079999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52783320--0.52778526) × cos(1.39292810) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176931836596122 × 6371000     		do = 54.0395371218943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52783320--0.52778526) × cos(1.39291962) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176940182801711 × 6371000     		du = 54.0420862679126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39292810)-sin(1.39291962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176931836596122-0.176940182801711)×R²
    abs(-0.52778526--0.52783320)×8.34620558926025e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.34620558926025e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.34620558926025e-06×40589641000000     		ar = 2919.61321588732m²