Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54524 / 15110
↖ ↑ ↗
← N 79.809387°
W 30.245361°		 ← 54.04 m → N 79.809387°
W 30.242615°		 →
↑
54.03 m
↓
↑
54.03 m
↓
N 79.808901°
W 30.245361°		 ← 54.04 m →
2 919 m²		 N 79.808901°
W 30.242615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415988922119141 y=0.115283966064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415988922119141 × 217)
    floor (0.415988922119141 × 131072)
    floor (54524.5)     		tx = 54524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115283966064453 × 217)
    floor (0.115283966064453 × 131072)
    floor (15110.5)     		ty = 15110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54524 / 15110 ti = "17/54524/15110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54524/15110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54524 ÷ 217
    54524 ÷ 131072     		x = 0.415985107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15110 ÷ 217
    15110 ÷ 131072     		y = 0.115280151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415985107421875 × 2 - 1) × π
    -0.16802978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52788114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115280151367188 × 2 - 1) × π
    0.769439697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41726610024095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52788114} λ = -0.52788114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41726610024095))-π/2
    2×atan(11.2151562514828)-π/2
    2×1.48186645256681-π/2
    2.96373290513362-1.57079632675     		φ = 1.39293658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52788114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.245361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39293658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.809387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54524 KachelY 15110 -0.52788114 1.39293658 -30.245361 79.809387
    Oben rechts KachelX + 1 54525 KachelY 15110 -0.52783320 1.39293658 -30.242615 79.809387
    Unten links KachelX 54524 KachelY + 1 15111 -0.52788114 1.39292810 -30.245361 79.808901
    Unten rechts KachelX + 1 54525 KachelY + 1 15111 -0.52783320 1.39292810 -30.242615 79.808901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39293658-1.39292810) × R
    8.47999999997739e-06 × 6371000     		dl = 54.026079999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39293658-1.39292810) × R
    8.47999999997739e-06 × 6371000     		dr = 54.026079999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52788114--0.52783320) × cos(1.39293658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17692349037781 × 6371000     		do = 54.03698797199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52788114--0.52783320) × cos(1.39292810) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176931836596122 × 6371000     		du = 54.0395371218943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39293658)-sin(1.39292810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17692349037781-0.176931836596122)×R²
    abs(-0.52783320--0.52788114)×8.34621831249938e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.34621831249938e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.34621831249938e-06×40589641000000     		ar = 2919.47549550845m²