Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54521 / 18687
↖ ↑ ↗
← N 77.916244°
W 30.253601°		 ← 63.94 m → N 77.916244°
W 30.250854°		 →
↑
63.96 m
↓
↑
63.96 m
↓
N 77.915669°
W 30.253601°		 ← 63.94 m →
4 090 m²		 N 77.915669°
W 30.250854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415966033935547 y=0.142574310302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415966033935547 × 217)
    floor (0.415966033935547 × 131072)
    floor (54521.5)     		tx = 54521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142574310302734 × 217)
    floor (0.142574310302734 × 131072)
    floor (18687.5)     		ty = 18687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54521 / 18687 ti = "17/54521/18687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54521/18687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54521 ÷ 217
    54521 ÷ 131072     		x = 0.415962219238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18687 ÷ 217
    18687 ÷ 131072     		y = 0.142570495605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415962219238281 × 2 - 1) × π
    -0.168075561523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.52802495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142570495605469 × 2 - 1) × π
    0.714859008789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.24579581030001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52802495} λ = -0.52802495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24579581030001))-π/2
    2×atan(9.44793132656354)-π/2
    2×1.4653456624485-π/2
    2.93069132489699-1.57079632675     		φ = 1.35989500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52802495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.253601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35989500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.916244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54521 KachelY 18687 -0.52802495 1.35989500 -30.253601 77.916244
    Oben rechts KachelX + 1 54522 KachelY 18687 -0.52797701 1.35989500 -30.250854 77.916244
    Unten links KachelX 54521 KachelY + 1 18688 -0.52802495 1.35988496 -30.253601 77.915669
    Unten rechts KachelX + 1 54522 KachelY + 1 18688 -0.52797701 1.35988496 -30.250854 77.915669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35989500-1.35988496) × R
    1.00400000000445e-05 × 6371000     		dl = 63.9648400002832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35989500-1.35988496) × R
    1.00400000000445e-05 × 6371000     		dr = 63.9648400002832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52802495--0.52797701) × cos(1.35989500) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.209341340521058 × 6371000     		do = 63.9382338413423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52802495--0.52797701) × cos(1.35988496) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.209351158050482 × 6371000     		du = 63.9412323675316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35989500)-sin(1.35988496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209341340521058-0.209351158050482)×R²
    abs(-0.52797701--0.52802495)×9.8175294238334e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.8175294238334e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.8175294238334e-06×40589641000000     		ar = 4089.89479772892m²