Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54520 / 18690
↖ ↑ ↗
← N 77.914519°
W 30.256348°		 ← 63.95 m → N 77.914519°
W 30.253601°		 →
↑
63.96 m
↓
↑
63.96 m
↓
N 77.913944°
W 30.256348°		 ← 63.95 m →
4 090 m²		 N 77.913944°
W 30.253601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415958404541016 y=0.142597198486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415958404541016 × 217)
    floor (0.415958404541016 × 131072)
    floor (54520.5)     		tx = 54520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142597198486328 × 217)
    floor (0.142597198486328 × 131072)
    floor (18690.5)     		ty = 18690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54520 / 18690 ti = "17/54520/18690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54520/18690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54520 ÷ 217
    54520 ÷ 131072     		x = 0.41595458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18690 ÷ 217
    18690 ÷ 131072     		y = 0.142593383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41595458984375 × 2 - 1) × π
    -0.1680908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52807289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142593383789062 × 2 - 1) × π
    0.714813232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24565199960115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52807289} λ = -0.52807289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24565199960115))-π/2
    2×atan(9.44657271065078)-π/2
    2×1.46533060862768-π/2
    2.93066121725537-1.57079632675     		φ = 1.35986489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52807289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.256348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35986489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.914519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54520 KachelY 18690 -0.52807289 1.35986489 -30.256348 77.914519
    Oben rechts KachelX + 1 54521 KachelY 18690 -0.52802495 1.35986489 -30.253601 77.914519
    Unten links KachelX 54520 KachelY + 1 18691 -0.52807289 1.35985485 -30.256348 77.913944
    Unten rechts KachelX + 1 54521 KachelY + 1 18691 -0.52802495 1.35985485 -30.253601 77.913944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35986489-1.35985485) × R
    1.00400000000445e-05 × 6371000     		dl = 63.9648400002832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35986489-1.35985485) × R
    1.00400000000445e-05 × 6371000     		dr = 63.9648400002832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52807289--0.52802495) × cos(1.35986489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209370783267657 × 6371000     		do = 63.9472264138617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52807289--0.52802495) × cos(1.35985485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20938060073379 × 6371000     		du = 63.9502249207203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35986489)-sin(1.35985485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209370783267657-0.20938060073379)×R²
    abs(-0.52802495--0.52807289)×9.81746613309964e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.81746613309964e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.81746613309964e-06×40589641000000     		ar = 4090.47000560378m²