Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54517 / 85280
↖ ↑ ↗
← S 47.576526°
W 30.264588°		 ← 206.04 m → S 47.576526°
W 30.261841°		 →
↑
206.04 m
↓
↑
206.04 m
↓
S 47.578379°
W 30.264588°		 ← 206.03 m →
42 452 m²		 S 47.578379°
W 30.261841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415935516357422 y=0.650638580322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415935516357422 × 217)
    floor (0.415935516357422 × 131072)
    floor (54517.5)     		tx = 54517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650638580322266 × 217)
    floor (0.650638580322266 × 131072)
    floor (85280.5)     		ty = 85280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54517 / 85280 ti = "17/54517/85280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54517/85280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54517 ÷ 217
    54517 ÷ 131072     		x = 0.415931701660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85280 ÷ 217
    85280 ÷ 131072     		y = 0.650634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415931701660156 × 2 - 1) × π
    -0.168136596679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.52821670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650634765625 × 2 - 1) × π
    -0.30126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.946466146098389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52821670} λ = -0.52821670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946466146098389))-π/2
    2×atan(0.388110127411034)-π/2
    2×0.370214653224265-π/2
    0.740429306448529-1.57079632675     		φ = -0.83036702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52821670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.264588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83036702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.576526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54517 KachelY 85280 -0.52821670 -0.83036702 -30.264588 -47.576526
    Oben rechts KachelX + 1 54518 KachelY 85280 -0.52816876 -0.83036702 -30.261841 -47.576526
    Unten links KachelX 54517 KachelY + 1 85281 -0.52821670 -0.83039936 -30.264588 -47.578379
    Unten rechts KachelX + 1 54518 KachelY + 1 85281 -0.52816876 -0.83039936 -30.261841 -47.578379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83036702--0.83039936) × R
    3.23400000000751e-05 × 6371000     		dl = 206.038140000478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83036702--0.83039936) × R
    3.23400000000751e-05 × 6371000     		dr = 206.038140000478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52821670--0.52816876) × cos(-0.83036702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.674604879051399 × 6371000     		do = 206.041694391749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52821670--0.52816876) × cos(-0.83039936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.674581005989304 × 6371000     		du = 206.034402944093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83036702)-sin(-0.83039936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674604879051399-0.674581005989304)×R²
    abs(-0.52816876--0.52821670)×2.38730620949479e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38730620949479e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38730620949479e-05×40589641000000     		ar = 42451.6963207358m²