Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54515 / 12957
↖ ↑ ↗
← N 80.804171°
W 30.270081°		 ← 48.81 m → N 80.804171°
W 30.267334°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
N 80.803732°
W 30.270081°		 ← 48.81 m →
2 382 m²		 N 80.803732°
W 30.267334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415920257568359 y=0.0988578796386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415920257568359 × 217)
    floor (0.415920257568359 × 131072)
    floor (54515.5)     		tx = 54515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0988578796386719 × 217)
    floor (0.0988578796386719 × 131072)
    floor (12957.5)     		ty = 12957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54515 / 12957 ti = "17/54515/12957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54515/12957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54515 ÷ 217
    54515 ÷ 131072     		x = 0.415916442871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12957 ÷ 217
    12957 ÷ 131072     		y = 0.0988540649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415916442871094 × 2 - 1) × π
    -0.168167114257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.52831257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0988540649414062 × 2 - 1) × π
    0.802291870117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.52047424512293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52831257} λ = -0.52831257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52047424512293))-π/2
    2×atan(12.4344922627992)-π/2
    2×1.4905475770961-π/2
    2.9810951541922-1.57079632675     		φ = 1.41029883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52831257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.270081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41029883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.804171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54515 KachelY 12957 -0.52831257 1.41029883 -30.270081 80.804171
    Oben rechts KachelX + 1 54516 KachelY 12957 -0.52826463 1.41029883 -30.267334 80.804171
    Unten links KachelX 54515 KachelY + 1 12958 -0.52831257 1.41029117 -30.270081 80.803732
    Unten rechts KachelX + 1 54516 KachelY + 1 12958 -0.52826463 1.41029117 -30.267334 80.803732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41029883-1.41029117) × R
    7.65999999985389e-06 × 6371000     		dl = 48.8018599990692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41029883-1.41029117) × R
    7.65999999985389e-06 × 6371000     		dr = 48.8018599990692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52831257--0.52826463) × cos(1.41029883) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159809329287429 × 6371000     		do = 48.8098826564845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52831257--0.52826463) × cos(1.41029117) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159816890835661 × 6371000     		du = 48.8121921479489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41029883)-sin(1.41029117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159809329287429-0.159816890835661)×R²
    abs(-0.52826463--0.52831257)×7.56154823230992e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.56154823230992e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.56154823230992e-06×40589641000000     		ar = 2382.06941376499m²