Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54513 / 15027
↖ ↑ ↗
← N 79.849641°
W 30.275573°		 ← 53.81 m → N 79.849641°
W 30.272827°		 →
↑
53.83 m
↓
↑
53.83 m
↓
N 79.849157°
W 30.275573°		 ← 53.82 m →
2 897 m²		 N 79.849157°
W 30.272827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415904998779297 y=0.114650726318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415904998779297 × 217)
    floor (0.415904998779297 × 131072)
    floor (54513.5)     		tx = 54513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114650726318359 × 217)
    floor (0.114650726318359 × 131072)
    floor (15027.5)     		ty = 15027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54513 / 15027 ti = "17/54513/15027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54513/15027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54513 ÷ 217
    54513 ÷ 131072     		x = 0.415901184082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15027 ÷ 217
    15027 ÷ 131072     		y = 0.114646911621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415901184082031 × 2 - 1) × π
    -0.168197631835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.52840844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114646911621094 × 2 - 1) × π
    0.770706176757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.42124486290942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52840844} λ = -0.52840844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42124486290942))-π/2
    2×atan(11.2598675854066)-π/2
    2×1.48221773257594-π/2
    2.96443546515188-1.57079632675     		φ = 1.39363914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52840844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.275573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39363914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.849641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54513 KachelY 15027 -0.52840844 1.39363914 -30.275573 79.849641
    Oben rechts KachelX + 1 54514 KachelY 15027 -0.52836051 1.39363914 -30.272827 79.849641
    Unten links KachelX 54513 KachelY + 1 15028 -0.52840844 1.39363069 -30.275573 79.849157
    Unten rechts KachelX + 1 54514 KachelY + 1 15028 -0.52836051 1.39363069 -30.272827 79.849157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39363914-1.39363069) × R
    8.45000000015972e-06 × 6371000     		dl = 53.8349500010176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39363914-1.39363069) × R
    8.45000000015972e-06 × 6371000     		dr = 53.8349500010176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52840844--0.52836051) × cos(1.39363914) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.176231969930375 × 6371000     		do = 53.8145520888711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52840844--0.52836051) × cos(1.39363069) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.176240287670296 × 6371000     		du = 53.8170920108184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39363914)-sin(1.39363069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176231969930375-0.176240287670296)×R²
    abs(-0.52836051--0.52840844)×8.31773992110429e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.31773992110429e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.31773992110429e-06×40589641000000     		ar = 2897.1720893691m²