Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54512 / 85294
↖ ↑ ↗
← S 47.602459°
W 30.278320°		 ← 205.94 m → S 47.602459°
W 30.275573°		 →
↑
205.91 m
↓
↑
205.91 m
↓
S 47.604311°
W 30.278320°		 ← 205.93 m →
42 404 m²		 S 47.604311°
W 30.275573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415897369384766 y=0.650745391845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415897369384766 × 217)
    floor (0.415897369384766 × 131072)
    floor (54512.5)     		tx = 54512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650745391845703 × 217)
    floor (0.650745391845703 × 131072)
    floor (85294.5)     		ty = 85294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54512 / 85294 ti = "17/54512/85294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54512/85294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54512 ÷ 217
    54512 ÷ 131072     		x = 0.4158935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85294 ÷ 217
    85294 ÷ 131072     		y = 0.650741577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4158935546875 × 2 - 1) × π
    -0.168212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52845638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650741577148438 × 2 - 1) × π
    -0.301483154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.94713726269307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52845638} λ = -0.52845638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94713726269307))-π/2
    2×atan(0.387849747646328)-π/2
    2×0.369988340030369-π/2
    0.739976680060739-1.57079632675     		φ = -0.83081965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52845638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.278320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83081965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.602459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54512 KachelY 85294 -0.52845638 -0.83081965 -30.278320 -47.602459
    Oben rechts KachelX + 1 54513 KachelY 85294 -0.52840844 -0.83081965 -30.275573 -47.602459
    Unten links KachelX 54512 KachelY + 1 85295 -0.52845638 -0.83085197 -30.278320 -47.604311
    Unten rechts KachelX + 1 54513 KachelY + 1 85295 -0.52840844 -0.83085197 -30.275573 -47.604311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83081965--0.83085197) × R
    3.23199999999746e-05 × 6371000     		dl = 205.910719999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83081965--0.83085197) × R
    3.23199999999746e-05 × 6371000     		dr = 205.910719999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52845638--0.52840844) × cos(-0.83081965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.674270687991092 × 6371000     		do = 205.939623839853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52845638--0.52840844) × cos(-0.83085197) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.674246819826837 × 6371000     		du = 205.932333888123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83081965)-sin(-0.83085197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674270687991092-0.674246819826837)×R²
    abs(-0.52840844--0.52845638)×2.38681642553695e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38681642553695e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38681642553695e-05×40589641000000     		ar = 42404.4256853763m²