Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54510 / 15031
↖ ↑ ↗
← N 79.847704°
W 30.283814°		 ← 53.84 m → N 79.847704°
W 30.281067°		 →
↑
53.83 m
↓
↑
53.83 m
↓
N 79.847220°
W 30.283814°		 ← 53.84 m →
2 898 m²		 N 79.847220°
W 30.281067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415882110595703 y=0.114681243896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415882110595703 × 217)
    floor (0.415882110595703 × 131072)
    floor (54510.5)     		tx = 54510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114681243896484 × 217)
    floor (0.114681243896484 × 131072)
    floor (15031.5)     		ty = 15031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54510 / 15031 ti = "17/54510/15031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54510/15031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54510 ÷ 217
    54510 ÷ 131072     		x = 0.415878295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15031 ÷ 217
    15031 ÷ 131072     		y = 0.114677429199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415878295898438 × 2 - 1) × π
    -0.168243408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52855226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114677429199219 × 2 - 1) × π
    0.770645141601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.42105311531094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52855226} λ = -0.52855226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42105311531094))-π/2
    2×atan(11.2577087398213)-π/2
    2×1.48220083495265-π/2
    2.9644016699053-1.57079632675     		φ = 1.39360534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52855226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.283814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39360534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.847704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54510 KachelY 15031 -0.52855226 1.39360534 -30.283814 79.847704
    Oben rechts KachelX + 1 54511 KachelY 15031 -0.52850432 1.39360534 -30.281067 79.847704
    Unten links KachelX 54510 KachelY + 1 15032 -0.52855226 1.39359689 -30.283814 79.847220
    Unten rechts KachelX + 1 54511 KachelY + 1 15032 -0.52850432 1.39359689 -30.281067 79.847220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39360534-1.39359689) × R
    8.44999999993767e-06 × 6371000     		dl = 53.8349499996029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39360534-1.39359689) × R
    8.44999999993767e-06 × 6371000     		dr = 53.8349499996029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52855226--0.52850432) × cos(1.39360534) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176265240814552 × 6371000     		do = 53.8359416120275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52855226--0.52850432) × cos(1.39359689) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176273558504134 × 6371000     		du = 53.838482048523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39360534)-sin(1.39359689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176265240814552-0.176273558504134)×R²
    abs(-0.52850432--0.52855226)×8.31768958134416e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.31768958134416e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.31768958134416e-06×40589641000000     		ar = 2898.32360716862m²