Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54509 / 15029
↖ ↑ ↗
← N 79.848673°
W 30.286560°		 ← 53.82 m → N 79.848673°
W 30.283814°		 →
↑
53.83 m
↓
↑
53.83 m
↓
N 79.848188°
W 30.286560°		 ← 53.82 m →
2 897 m²		 N 79.848188°
W 30.283814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415874481201172 y=0.114665985107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415874481201172 × 217)
    floor (0.415874481201172 × 131072)
    floor (54509.5)     		tx = 54509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114665985107422 × 217)
    floor (0.114665985107422 × 131072)
    floor (15029.5)     		ty = 15029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54509 / 15029 ti = "17/54509/15029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54509/15029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54509 ÷ 217
    54509 ÷ 131072     		x = 0.415870666503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15029 ÷ 217
    15029 ÷ 131072     		y = 0.114662170410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415870666503906 × 2 - 1) × π
    -0.168258666992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.52860019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114662170410156 × 2 - 1) × π
    0.770675659179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.42114898911018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52860019} λ = -0.52860019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42114898911018))-π/2
    2×atan(11.2587881108698)-π/2
    2×1.48220928416296-π/2
    2.96441856832593-1.57079632675     		φ = 1.39362224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52860019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.286560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39362224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.848673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54509 KachelY 15029 -0.52860019 1.39362224 -30.286560 79.848673
    Oben rechts KachelX + 1 54510 KachelY 15029 -0.52855226 1.39362224 -30.283814 79.848673
    Unten links KachelX 54509 KachelY + 1 15030 -0.52860019 1.39361379 -30.286560 79.848188
    Unten rechts KachelX + 1 54510 KachelY + 1 15030 -0.52855226 1.39361379 -30.283814 79.848188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39362224-1.39361379) × R
    8.44999999993767e-06 × 6371000     		dl = 53.8349499996029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39362224-1.39361379) × R
    8.44999999993767e-06 × 6371000     		dr = 53.8349499996029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52860019--0.52855226) × cos(1.39362224) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.176248605397633 × 6371000     		do = 53.819631928923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52860019--0.52855226) × cos(1.39361379) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.176256923112385 × 6371000     		du = 53.8221718431847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39362224)-sin(1.39361379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176248605397633-0.176256923112385)×R²
    abs(-0.52855226--0.52860019)×8.31771475232057e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.31771475232057e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.31771475232057e-06×40589641000000     		ar = 2897.4455618114m²