Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54508 / 15276
↖ ↑ ↗
← N 79.728405°
W 30.289307°		 ← 54.46 m → N 79.728405°
W 30.286560°		 →
↑
54.47 m
↓
↑
54.47 m
↓
N 79.727915°
W 30.289307°		 ← 54.46 m →
2 967 m²		 N 79.727915°
W 30.286560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415866851806641 y=0.116550445556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415866851806641 × 217)
    floor (0.415866851806641 × 131072)
    floor (54508.5)     		tx = 54508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116550445556641 × 217)
    floor (0.116550445556641 × 131072)
    floor (15276.5)     		ty = 15276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54508 / 15276 ti = "17/54508/15276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54508/15276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54508 ÷ 217
    54508 ÷ 131072     		x = 0.415863037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15276 ÷ 217
    15276 ÷ 131072     		y = 0.116546630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415863037109375 × 2 - 1) × π
    -0.16827392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52864813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116546630859375 × 2 - 1) × π
    0.76690673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.40930857490402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52864813} λ = -0.52864813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40930857490402))-π/2
    2×atan(11.1262655056976)-π/2
    2×1.48115975239281-π/2
    2.96231950478561-1.57079632675     		φ = 1.39152318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52864813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.289307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39152318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.728405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54508 KachelY 15276 -0.52864813 1.39152318 -30.289307 79.728405
    Oben rechts KachelX + 1 54509 KachelY 15276 -0.52860019 1.39152318 -30.286560 79.728405
    Unten links KachelX 54508 KachelY + 1 15277 -0.52864813 1.39151463 -30.289307 79.727915
    Unten rechts KachelX + 1 54509 KachelY + 1 15277 -0.52860019 1.39151463 -30.286560 79.727915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39152318-1.39151463) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dl = 54.4720499999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39152318-1.39151463) × R
    8.54999999999606e-06 × 6371000     		dr = 54.4720499999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52864813--0.52860019) × cos(1.39152318) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178314416255313 × 6371000     		do = 54.4618125374113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52864813--0.52860019) × cos(1.39151463) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178322829222743 × 6371000     		du = 54.4643820742141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39152318)-sin(1.39151463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178314416255313-0.178322829222743)×R²
    abs(-0.52860019--0.52864813)×8.41296742973285e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.41296742973285e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.41296742973285e-06×40589641000000     		ar = 2966.71655960918m²