Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54508 / 15274
↖ ↑ ↗
← N 79.729384°
W 30.289307°		 ← 54.46 m → N 79.729384°
W 30.286560°		 →
↑
54.41 m
↓
↑
54.41 m
↓
N 79.728895°
W 30.289307°		 ← 54.46 m →
2 963 m²		 N 79.728895°
W 30.286560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415866851806641 y=0.116535186767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415866851806641 × 217)
    floor (0.415866851806641 × 131072)
    floor (54508.5)     		tx = 54508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116535186767578 × 217)
    floor (0.116535186767578 × 131072)
    floor (15274.5)     		ty = 15274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54508 / 15274 ti = "17/54508/15274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54508/15274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54508 ÷ 217
    54508 ÷ 131072     		x = 0.415863037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15274 ÷ 217
    15274 ÷ 131072     		y = 0.116531372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415863037109375 × 2 - 1) × π
    -0.16827392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52864813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116531372070312 × 2 - 1) × π
    0.766937255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.40940444870326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52864813} λ = -0.52864813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40940444870326))-π/2
    2×atan(11.1273322741798)-π/2
    2×1.48116829983-π/2
    2.96233659965999-1.57079632675     		φ = 1.39154027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52864813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.289307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39154027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.729384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54508 KachelY 15274 -0.52864813 1.39154027 -30.289307 79.729384
    Oben rechts KachelX + 1 54509 KachelY 15274 -0.52860019 1.39154027 -30.286560 79.729384
    Unten links KachelX 54508 KachelY + 1 15275 -0.52864813 1.39153173 -30.289307 79.728895
    Unten rechts KachelX + 1 54509 KachelY + 1 15275 -0.52860019 1.39153173 -30.286560 79.728895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39154027-1.39153173) × R
    8.53999999983479e-06 × 6371000     		dl = 54.4083399989475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39154027-1.39153173) × R
    8.53999999983479e-06 × 6371000     		dr = 54.4083399989475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52864813--0.52860019) × cos(1.39154027) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178297600121115 × 6371000     		do = 54.4566764571799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52864813--0.52860019) × cos(1.39153173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.178306003274848 × 6371000     		du = 54.4592429966272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39154027)-sin(1.39153173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178297600121115-0.178306003274848)×R²
    abs(-0.52860019--0.52864813)×8.40315373332179e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.40315373332179e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.40315373332179e-06×40589641000000     		ar = 2962.96718855236m²