Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54508 / 11996
↖ ↑ ↗
← N 81.216531°
W 30.289307°		 ← 46.64 m → N 81.216531°
W 30.286560°		 →
↑
46.64 m
↓
↑
46.64 m
↓
N 81.216111°
W 30.289307°		 ← 46.64 m →
2 175 m²		 N 81.216111°
W 30.286560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415866851806641 y=0.0915260314941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415866851806641 × 217)
    floor (0.415866851806641 × 131072)
    floor (54508.5)     		tx = 54508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0915260314941406 × 217)
    floor (0.0915260314941406 × 131072)
    floor (11996.5)     		ty = 11996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54508 / 11996 ti = "17/54508/11996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54508/11996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54508 ÷ 217
    54508 ÷ 131072     		x = 0.415863037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11996 ÷ 217
    11996 ÷ 131072     		y = 0.091522216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415863037109375 × 2 - 1) × π
    -0.16827392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52864813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.091522216796875 × 2 - 1) × π
    0.81695556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.56654160565781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52864813} λ = -0.52864813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56654160565781))-π/2
    2×atan(13.0207157144544)-π/2
    2×1.49414609993456-π/2
    2.98829219986912-1.57079632675     		φ = 1.41749587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52864813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.289307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41749587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.216531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54508 KachelY 11996 -0.52864813 1.41749587 -30.289307 81.216531
    Oben rechts KachelX + 1 54509 KachelY 11996 -0.52860019 1.41749587 -30.286560 81.216531
    Unten links KachelX 54508 KachelY + 1 11997 -0.52864813 1.41748855 -30.289307 81.216111
    Unten rechts KachelX + 1 54509 KachelY + 1 11997 -0.52860019 1.41748855 -30.286560 81.216111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41749587-1.41748855) × R
    7.31999999992183e-06 × 6371000     		dl = 46.635719999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41749587-1.41748855) × R
    7.31999999992183e-06 × 6371000     		dr = 46.635719999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52864813--0.52860019) × cos(1.41749587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152700708856495 × 6371000     		do = 46.638727000989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52864813--0.52860019) × cos(1.41748855) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152707943006953 × 6371000     		du = 46.6409364967459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41749587)-sin(1.41748855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152700708856495-0.152707943006953)×R²
    abs(-0.52860019--0.52864813)×7.23415045794651e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.23415045794651e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.23415045794651e-06×40589641000000     		ar = 2175.08213425951m²