Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54506 / 14998
↖ ↑ ↗
← N 79.863668°
W 30.294800°		 ← 53.74 m → N 79.863668°
W 30.292053°		 →
↑
53.71 m
↓
↑
53.71 m
↓
N 79.863185°
W 30.294800°		 ← 53.74 m →
2 886 m²		 N 79.863185°
W 30.292053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415851593017578 y=0.114429473876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415851593017578 × 217)
    floor (0.415851593017578 × 131072)
    floor (54506.5)     		tx = 54506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114429473876953 × 217)
    floor (0.114429473876953 × 131072)
    floor (14998.5)     		ty = 14998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54506 / 14998 ti = "17/54506/14998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54506/14998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54506 ÷ 217
    54506 ÷ 131072     		x = 0.415847778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14998 ÷ 217
    14998 ÷ 131072     		y = 0.114425659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415847778320312 × 2 - 1) × π
    -0.168304443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52874400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114425659179688 × 2 - 1) × π
    0.771148681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4226350329984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52874400} λ = -0.52874400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4226350329984))-π/2
    2×atan(11.2755316018306)-π/2
    2×1.48234014500807-π/2
    2.96468029001614-1.57079632675     		φ = 1.39388396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52874400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.294800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39388396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.863668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54506 KachelY 14998 -0.52874400 1.39388396 -30.294800 79.863668
    Oben rechts KachelX + 1 54507 KachelY 14998 -0.52869607 1.39388396 -30.292053 79.863668
    Unten links KachelX 54506 KachelY + 1 14999 -0.52874400 1.39387553 -30.294800 79.863185
    Unten rechts KachelX + 1 54507 KachelY + 1 14999 -0.52869607 1.39387553 -30.292053 79.863185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39388396-1.39387553) × R
    8.42999999983718e-06 × 6371000     		dl = 53.7075299989627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39388396-1.39387553) × R
    8.42999999983718e-06 × 6371000     		dr = 53.7075299989627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52874400--0.52869607) × cos(1.39388396) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.175990976411412 × 6371000     		do = 53.7409618187038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52874400--0.52869607) × cos(1.39387553) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.175999274827862 × 6371000     		du = 53.7434958399969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39388396)-sin(1.39387553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175990976411412-0.175999274827862)×R²
    abs(-0.52869607--0.52874400)×8.29841645041962e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.29841645041962e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.29841645041962e-06×40589641000000     		ar = 2886.36236707358m²