Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54506 / 12955
↖ ↑ ↗
← N 80.805049°
W 30.294800°		 ← 48.80 m → N 80.805049°
W 30.292053°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
N 80.804610°
W 30.294800°		 ← 48.80 m →
2 381 m²		 N 80.804610°
W 30.292053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415851593017578 y=0.0988426208496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415851593017578 × 217)
    floor (0.415851593017578 × 131072)
    floor (54506.5)     		tx = 54506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0988426208496094 × 217)
    floor (0.0988426208496094 × 131072)
    floor (12955.5)     		ty = 12955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54506 / 12955 ti = "17/54506/12955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54506/12955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54506 ÷ 217
    54506 ÷ 131072     		x = 0.415847778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12955 ÷ 217
    12955 ÷ 131072     		y = 0.0988388061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415847778320312 × 2 - 1) × π
    -0.168304443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52874400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0988388061523438 × 2 - 1) × π
    0.802322387695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.52057011892217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52874400} λ = -0.52874400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52057011892217))-π/2
    2×atan(12.4356844619635)-π/2
    2×1.4905552374975-π/2
    2.981110474995-1.57079632675     		φ = 1.41031415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52874400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.294800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41031415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.805049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54506 KachelY 12955 -0.52874400 1.41031415 -30.294800 80.805049
    Oben rechts KachelX + 1 54507 KachelY 12955 -0.52869607 1.41031415 -30.292053 80.805049
    Unten links KachelX 54506 KachelY + 1 12956 -0.52874400 1.41030649 -30.294800 80.804610
    Unten rechts KachelX + 1 54507 KachelY + 1 12956 -0.52869607 1.41030649 -30.292053 80.804610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41031415-1.41030649) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dl = 48.8018600004838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41031415-1.41030649) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dr = 48.8018600004838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52874400--0.52869607) × cos(1.41031415) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159794206162833 × 6371000     		do = 48.7950831761511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52874400--0.52869607) × cos(1.41030649) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159801767729819 × 6371000     		du = 48.7973921915959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41031415)-sin(1.41030649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159794206162833-0.159801767729819)×R²
    abs(-0.52869607--0.52874400)×7.56156698589194e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.56156698589194e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.56156698589194e-06×40589641000000     		ar = 2381.3471598845m²