Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54505 / 50204
↖ ↑ ↗
← S 68.712465°
E119.404907°		 ← 221.77 m → S 68.712465°
E119.410401°		 →
↑
221.71 m
↓
↑
221.71 m
↓
S 68.714459°
E119.404907°		 ← 221.75 m →
49 166 m²		 S 68.714459°
E119.410401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831687927246094 y=0.766059875488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831687927246094 × 216)
    floor (0.831687927246094 × 65536)
    floor (54505.5)     		tx = 54505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766059875488281 × 216)
    floor (0.766059875488281 × 65536)
    floor (50204.5)     		ty = 50204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54505 / 50204 ti = "16/54505/50204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54505/50204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54505 ÷ 216
    54505 ÷ 65536     		x = 0.831680297851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50204 ÷ 216
    50204 ÷ 65536     		y = 0.76605224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831680297851562 × 2 - 1) × π
    0.663360595703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.08400877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76605224609375 × 2 - 1) × π
    -0.5321044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6716555635506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08400877} λ = 2.08400877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6716555635506))-π/2
    2×atan(0.187935668498371)-π/2
    2×0.185768788970703-π/2
    0.371537577941406-1.57079632675     		φ = -1.19925875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08400877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.404907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19925875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.712465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54505 KachelY 50204 2.08400877 -1.19925875 119.404907 -68.712465
    Oben rechts KachelX + 1 54506 KachelY 50204 2.08410465 -1.19925875 119.410401 -68.712465
    Unten links KachelX 54505 KachelY + 1 50205 2.08400877 -1.19929355 119.404907 -68.714459
    Unten rechts KachelX + 1 54506 KachelY + 1 50205 2.08410465 -1.19929355 119.410401 -68.714459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19925875--1.19929355) × R
    3.47999999998905e-05 × 6371000     		dl = 221.710799999302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19925875--1.19929355) × R
    3.47999999998905e-05 × 6371000     		dr = 221.710799999302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08400877-2.08410465) × cos(-1.19925875) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.363048528836867 × 6371000     		do = 221.768731151678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08400877-2.08410465) × cos(-1.19929355) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.363016103012958 × 6371000     		du = 221.748923789153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19925875)-sin(-1.19929355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363048528836867-0.363016103012958)×R²
    abs(2.08410465-2.08400877)×3.24258239088326e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.24258239088326e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.24258239088326e-05×40589641000000     		ar = 49166.327050491m²