Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54505 / 12956
↖ ↑ ↗
← N 80.804610°
W 30.297546°		 ← 48.81 m → N 80.804610°
W 30.294800°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
N 80.804171°
W 30.297546°		 ← 48.81 m →
2 382 m²		 N 80.804171°
W 30.294800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415843963623047 y=0.0988502502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415843963623047 × 217)
    floor (0.415843963623047 × 131072)
    floor (54505.5)     		tx = 54505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0988502502441406 × 217)
    floor (0.0988502502441406 × 131072)
    floor (12956.5)     		ty = 12956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54505 / 12956 ti = "17/54505/12956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54505/12956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54505 ÷ 217
    54505 ÷ 131072     		x = 0.415840148925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12956 ÷ 217
    12956 ÷ 131072     		y = 0.098846435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415840148925781 × 2 - 1) × π
    -0.168319702148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.52879194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098846435546875 × 2 - 1) × π
    0.80230712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52052218202255
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52879194} λ = -0.52879194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52052218202255))-π/2
    2×atan(12.4350883480938)-π/2
    2×1.49055140738742-π/2
    2.98110281477485-1.57079632675     		φ = 1.41030649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52879194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.297546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41030649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.804610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54505 KachelY 12956 -0.52879194 1.41030649 -30.297546 80.804610
    Oben rechts KachelX + 1 54506 KachelY 12956 -0.52874400 1.41030649 -30.294800 80.804610
    Unten links KachelX 54505 KachelY + 1 12957 -0.52879194 1.41029883 -30.297546 80.804171
    Unten rechts KachelX + 1 54506 KachelY + 1 12957 -0.52874400 1.41029883 -30.294800 80.804171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41030649-1.41029883) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dl = 48.8018600004838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41030649-1.41029883) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dr = 48.8018600004838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52879194--0.52874400) × cos(1.41030649) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159801767729819 × 6371000     		do = 48.8075731621561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52879194--0.52874400) × cos(1.41029883) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159809329287429 × 6371000     		du = 48.8098826564845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41030649)-sin(1.41029883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159801767729819-0.159809329287429)×R²
    abs(-0.52874400--0.52879194)×7.56155760944788e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.56155760944788e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.56155760944788e-06×40589641000000     		ar = 2381.9567063132m²