Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54504 / 15010
↖ ↑ ↗
← N 79.857866°
W 30.300293°		 ← 53.78 m → N 79.857866°
W 30.297546°		 →
↑
53.77 m
↓
↑
53.77 m
↓
N 79.857383°
W 30.300293°		 ← 53.79 m →
2 892 m²		 N 79.857383°
W 30.297546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415836334228516 y=0.114521026611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415836334228516 × 217)
    floor (0.415836334228516 × 131072)
    floor (54504.5)     		tx = 54504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114521026611328 × 217)
    floor (0.114521026611328 × 131072)
    floor (15010.5)     		ty = 15010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54504 / 15010 ti = "17/54504/15010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54504/15010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54504 ÷ 217
    54504 ÷ 131072     		x = 0.41583251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15010 ÷ 217
    15010 ÷ 131072     		y = 0.114517211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41583251953125 × 2 - 1) × π
    -0.1683349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52883988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114517211914062 × 2 - 1) × π
    0.770965576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42205979020296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52883988} λ = -0.52883988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42205979020296))-π/2
    2×atan(11.2690472987151)-π/2
    2×1.48228951190394-π/2
    2.96457902380789-1.57079632675     		φ = 1.39378270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52883988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.300293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39378270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.857866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54504 KachelY 15010 -0.52883988 1.39378270 -30.300293 79.857866
    Oben rechts KachelX + 1 54505 KachelY 15010 -0.52879194 1.39378270 -30.297546 79.857866
    Unten links KachelX 54504 KachelY + 1 15011 -0.52883988 1.39377426 -30.300293 79.857383
    Unten rechts KachelX + 1 54505 KachelY + 1 15011 -0.52879194 1.39377426 -30.297546 79.857383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39378270-1.39377426) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dl = 53.7712399999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39378270-1.39377426) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dr = 53.7712399999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52883988--0.52879194) × cos(1.39378270) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.176090655020599 × 6371000     		do = 53.7826186168404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52883988--0.52879194) × cos(1.39377426) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.176098963130498 × 6371000     		du = 53.7851561274545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39378270)-sin(1.39377426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176090655020599-0.176098963130498)×R²
    abs(-0.52879194--0.52883988)×8.30810989946307e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.30810989946307e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.30810989946307e-06×40589641000000     		ar = 2892.02631621456m²