Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54503 / 50276
↖ ↑ ↗
← S 68.855593°
E119.393921°		 ← 220.32 m → S 68.855593°
E119.399414°		 →
↑
220.31 m
↓
↑
220.31 m
↓
S 68.857574°
E119.393921°		 ← 220.30 m →
48 537 m²		 S 68.857574°
E119.399414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831657409667969 y=0.767158508300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831657409667969 × 216)
    floor (0.831657409667969 × 65536)
    floor (54503.5)     		tx = 54503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767158508300781 × 216)
    floor (0.767158508300781 × 65536)
    floor (50276.5)     		ty = 50276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54503 / 50276 ti = "16/54503/50276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54503/50276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54503 ÷ 216
    54503 ÷ 65536     		x = 0.831649780273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50276 ÷ 216
    50276 ÷ 65536     		y = 0.76715087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831649780273438 × 2 - 1) × π
    0.663299560546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.08381703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76715087890625 × 2 - 1) × π
    -0.5343017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67855847709589
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08381703} λ = 2.08381703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67855847709589))-π/2
    2×atan(0.186642832129151)-π/2
    2×0.184519765091334-π/2
    0.369039530182668-1.57079632675     		φ = -1.20175680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08381703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.393921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20175680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.855593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54503 KachelY 50276 2.08381703 -1.20175680 119.393921 -68.855593
    Oben rechts KachelX + 1 54504 KachelY 50276 2.08391290 -1.20175680 119.399414 -68.855593
    Unten links KachelX 54503 KachelY + 1 50277 2.08381703 -1.20179138 119.393921 -68.857574
    Unten rechts KachelX + 1 54504 KachelY + 1 50277 2.08391290 -1.20179138 119.399414 -68.857574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20175680--1.20179138) × R
    3.45799999998953e-05 × 6371000     		dl = 220.309179999333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20175680--1.20179138) × R
    3.45799999998953e-05 × 6371000     		dr = 220.309179999333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08381703-2.08391290) × cos(-1.20175680) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360719789872111 × 6371000     		do = 220.32323605085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08381703-2.08391290) × cos(-1.20179138) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360687537781316 × 6371000     		du = 220.303536868236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20175680)-sin(-1.20179138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360719789872111-0.360687537781316)×R²
    abs(2.08391290-2.08381703)×3.22520907944379e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22520907944379e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22520907944379e-05×40589641000000     		ar = 48537.0615187464m²