Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54503 / 15009
↖ ↑ ↗
← N 79.858350°
W 30.303039°		 ← 53.77 m → N 79.858350°
W 30.300293°		 →
↑
53.77 m
↓
↑
53.77 m
↓
N 79.857866°
W 30.303039°		 ← 53.77 m →
2 891 m²		 N 79.857866°
W 30.300293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415828704833984 y=0.114513397216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415828704833984 × 217)
    floor (0.415828704833984 × 131072)
    floor (54503.5)     		tx = 54503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114513397216797 × 217)
    floor (0.114513397216797 × 131072)
    floor (15009.5)     		ty = 15009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54503 / 15009 ti = "17/54503/15009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54503/15009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54503 ÷ 217
    54503 ÷ 131072     		x = 0.415824890136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15009 ÷ 217
    15009 ÷ 131072     		y = 0.114509582519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415824890136719 × 2 - 1) × π
    -0.168350219726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.52888781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114509582519531 × 2 - 1) × π
    0.770980834960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.42210772710258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52888781} λ = -0.52888781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42210772710258))-π/2
    2×atan(11.2695875148523)-π/2
    2×1.48229373242446-π/2
    2.96458746484892-1.57079632675     		φ = 1.39379114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52888781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.303039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39379114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.858350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54503 KachelY 15009 -0.52888781 1.39379114 -30.303039 79.858350
    Oben rechts KachelX + 1 54504 KachelY 15009 -0.52883988 1.39379114 -30.300293 79.858350
    Unten links KachelX 54503 KachelY + 1 15010 -0.52888781 1.39378270 -30.303039 79.857866
    Unten rechts KachelX + 1 54504 KachelY + 1 15010 -0.52883988 1.39378270 -30.300293 79.857866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39379114-1.39378270) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dl = 53.7712399999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39379114-1.39378270) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dr = 53.7712399999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52888781--0.52883988) × cos(1.39379114) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.176082346898156 × 6371000     		do = 53.7688628958935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52888781--0.52883988) × cos(1.39378270) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.176090655020599 × 6371000     		du = 53.7713998810281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39379114)-sin(1.39378270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176082346898156-0.176090655020599)×R²
    abs(-0.52883988--0.52888781)×8.3081224430126e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.3081224430126e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.3081224430126e-06×40589641000000     		ar = 2891.28663955134m²