Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54500 / 13020
↖ ↑ ↗
← N 80.776477°
W 30.311279°		 ← 48.95 m → N 80.776477°
W 30.308533°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
N 80.776037°
W 30.311279°		 ← 48.95 m →
2 395 m²		 N 80.776037°
W 30.308533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415805816650391 y=0.0993385314941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415805816650391 × 217)
    floor (0.415805816650391 × 131072)
    floor (54500.5)     		tx = 54500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0993385314941406 × 217)
    floor (0.0993385314941406 × 131072)
    floor (13020.5)     		ty = 13020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54500 / 13020 ti = "17/54500/13020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54500/13020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54500 ÷ 217
    54500 ÷ 131072     		x = 0.415802001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13020 ÷ 217
    13020 ÷ 131072     		y = 0.099334716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415802001953125 × 2 - 1) × π
    -0.16839599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52903162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099334716796875 × 2 - 1) × π
    0.80133056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51745422044687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52903162} λ = -0.52903162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51745422044687))-π/2
    2×atan(12.3969964369894)-π/2
    2×1.49030590298088-π/2
    2.98061180596176-1.57079632675     		φ = 1.40981548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52903162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.311279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40981548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.776477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54500 KachelY 13020 -0.52903162 1.40981548 -30.311279 80.776477
    Oben rechts KachelX + 1 54501 KachelY 13020 -0.52898369 1.40981548 -30.308533 80.776477
    Unten links KachelX 54500 KachelY + 1 13021 -0.52903162 1.40980780 -30.311279 80.776037
    Unten rechts KachelX + 1 54501 KachelY + 1 13021 -0.52898369 1.40980780 -30.308533 80.776037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40981548-1.40980780) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dl = 48.9292799997094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40981548-1.40980780) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dr = 48.9292799997094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52903162--0.52898369) × cos(1.40981548) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16028644853885 × 6371000     		do = 48.9453953073439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52903162--0.52898369) × cos(1.40980780) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160294029235884 × 6371000     		du = 48.9477101643789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40981548)-sin(1.40980780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16028644853885-0.160294029235884)×R²
    abs(-0.52898369--0.52903162)×7.58069703357678e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.58069703357678e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.58069703357678e-06×40589641000000     		ar = 2394.91958373782m²