Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54499 / 12965
↖ ↑ ↗
← N 80.800659°
W 30.314026°		 ← 48.83 m → N 80.800659°
W 30.311279°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
N 80.800220°
W 30.314026°		 ← 48.83 m →
2 383 m²		 N 80.800220°
W 30.311279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415798187255859 y=0.0989189147949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415798187255859 × 217)
    floor (0.415798187255859 × 131072)
    floor (54499.5)     		tx = 54499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0989189147949219 × 217)
    floor (0.0989189147949219 × 131072)
    floor (12965.5)     		ty = 12965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54499 / 12965 ti = "17/54499/12965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54499/12965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54499 ÷ 217
    54499 ÷ 131072     		x = 0.415794372558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12965 ÷ 217
    12965 ÷ 131072     		y = 0.0989151000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415794372558594 × 2 - 1) × π
    -0.168411254882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.52907956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0989151000976562 × 2 - 1) × π
    0.802169799804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.52009074992597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52907956} λ = -0.52907956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52009074992597))-π/2
    2×atan(12.4297246089844)-π/2
    2×1.49051692823957-π/2
    2.98103385647915-1.57079632675     		φ = 1.41023753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52907956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.314026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41023753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.800659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54499 KachelY 12965 -0.52907956 1.41023753 -30.314026 80.800659
    Oben rechts KachelX + 1 54500 KachelY 12965 -0.52903162 1.41023753 -30.311279 80.800659
    Unten links KachelX 54499 KachelY + 1 12966 -0.52907956 1.41022987 -30.314026 80.800220
    Unten rechts KachelX + 1 54500 KachelY + 1 12966 -0.52903162 1.41022987 -30.311279 80.800220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41023753-1.41022987) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dl = 48.8018600004838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41023753-1.41022987) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dr = 48.8018600004838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52907956--0.52903162) × cos(1.41023753) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159869841153459 × 6371000     		do = 48.8283645379458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52907956--0.52903162) × cos(1.41022987) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159877402626636 × 6371000     		du = 48.8306740064863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41023753)-sin(1.41022987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159869841153459-0.159877402626636)×R²
    abs(-0.52903162--0.52907956)×7.56147317679257e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.56147317679257e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.56147317679257e-06×40589641000000     		ar = 2382.97136329787m²