Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54498 / 50301
↖ ↑ ↗
← S 68.905074°
E119.366455°		 ← 219.83 m → S 68.905074°
E119.371948°		 →
↑
219.86 m
↓
↑
219.86 m
↓
S 68.907052°
E119.366455°		 ← 219.81 m →
48 331 m²		 S 68.907052°
E119.371948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831581115722656 y=0.767539978027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831581115722656 × 216)
    floor (0.831581115722656 × 65536)
    floor (54498.5)     		tx = 54498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767539978027344 × 216)
    floor (0.767539978027344 × 65536)
    floor (50301.5)     		ty = 50301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54498 / 50301 ti = "16/54498/50301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54498/50301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54498 ÷ 216
    54498 ÷ 65536     		x = 0.831573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50301 ÷ 216
    50301 ÷ 65536     		y = 0.767532348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831573486328125 × 2 - 1) × π
    0.66314697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08333766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767532348632812 × 2 - 1) × π
    -0.535064697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68095532207689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08333766} λ = 2.08333766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68095532207689))-π/2
    2×atan(0.186196013884664)-π/2
    2×0.184087953264583-π/2
    0.368175906529165-1.57079632675     		φ = -1.20262042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08333766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.366455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20262042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.905074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54498 KachelY 50301 2.08333766 -1.20262042 119.366455 -68.905074
    Oben rechts KachelX + 1 54499 KachelY 50301 2.08343353 -1.20262042 119.371948 -68.905074
    Unten links KachelX 54498 KachelY + 1 50302 2.08333766 -1.20265493 119.366455 -68.907052
    Unten rechts KachelX + 1 54499 KachelY + 1 50302 2.08343353 -1.20265493 119.371948 -68.907052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20262042--1.20265493) × R
    3.45100000000986e-05 × 6371000     		dl = 219.863210000628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20262042--1.20265493) × R
    3.45100000000986e-05 × 6371000     		dr = 219.863210000628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08333766-2.08343353) × cos(-1.20262042) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.359914179327768 × 6371000     		do = 219.831178982983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08333766-2.08343353) × cos(-1.20265493) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.359881981786804 × 6371000     		du = 219.811513118738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20262042)-sin(-1.20265493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359914179327768-0.359881981786804)×R²
    abs(2.08343353-2.08333766)×3.21975409634523e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.21975409634523e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.21975409634523e-05×40589641000000     		ar = 48330.6267740234m²