Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54496 / 87136
↖ ↑ ↗
← S 50.903033°
W 30.322266°		 ← 192.61 m → S 50.903033°
W 30.319519°		 →
↑
192.60 m
↓
↑
192.60 m
↓
S 50.904765°
W 30.322266°		 ← 192.60 m →
37 095 m²		 S 50.904765°
W 30.319519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415775299072266 y=0.664798736572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415775299072266 × 217)
    floor (0.415775299072266 × 131072)
    floor (54496.5)     		tx = 54496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664798736572266 × 217)
    floor (0.664798736572266 × 131072)
    floor (87136.5)     		ty = 87136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54496 / 87136 ti = "17/54496/87136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54496/87136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54496 ÷ 217
    54496 ÷ 131072     		x = 0.415771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87136 ÷ 217
    87136 ÷ 131072     		y = 0.664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.16845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52922337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664794921875 × 2 - 1) × π
    -0.32958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03543703179321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52922337} λ = -0.52922337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03543703179321))-π/2
    2×atan(0.355071169621307)-π/2
    2×0.341185402329938-π/2
    0.682370804659875-1.57079632675     		φ = -0.88842552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52922337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.322266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88842552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.903033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54496 KachelY 87136 -0.52922337 -0.88842552 -30.322266 -50.903033
    Oben rechts KachelX + 1 54497 KachelY 87136 -0.52917543 -0.88842552 -30.319519 -50.903033
    Unten links KachelX 54496 KachelY + 1 87137 -0.52922337 -0.88845575 -30.322266 -50.904765
    Unten rechts KachelX + 1 54497 KachelY + 1 87137 -0.52917543 -0.88845575 -30.319519 -50.904765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88842552--0.88845575) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dl = 192.595330000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88842552--0.88845575) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dr = 192.595330000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52922337--0.52917543) × cos(-0.88842552) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630634729841203 × 6371000     		do = 192.612079031323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52922337--0.52917543) × cos(-0.88845575) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.630611268661058 × 6371000     		du = 192.604913383016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88842552)-sin(-0.88845575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630634729841203-0.630611268661058)×R²
    abs(-0.52917543--0.52922337)×2.34611801448459e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34611801448459e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34611801448459e-05×40589641000000     		ar = 37095.4968907701m²