Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54496 / 50656
↖ ↑ ↗
← S 69.595890°
E119.355469°		 ← 212.94 m → S 69.595890°
E119.360962°		 →
↑
212.92 m
↓
↑
212.92 m
↓
S 69.597805°
E119.355469°		 ← 212.93 m →
45 338 m²		 S 69.597805°
E119.360962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831550598144531 y=0.772956848144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831550598144531 × 216)
    floor (0.831550598144531 × 65536)
    floor (54496.5)     		tx = 54496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772956848144531 × 216)
    floor (0.772956848144531 × 65536)
    floor (50656.5)     		ty = 50656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54496 / 50656 ti = "16/54496/50656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54496/50656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54496 ÷ 216
    54496 ÷ 65536     		x = 0.83154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50656 ÷ 216
    50656 ÷ 65536     		y = 0.77294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83154296875 × 2 - 1) × π
    0.6630859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.08314591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77294921875 × 2 - 1) × π
    -0.5458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71499052080713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08314591} λ = 2.08314591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71499052080713))-π/2
    2×atan(0.179965426632016)-π/2
    2×0.178059449683757-π/2
    0.356118899367515-1.57079632675     		φ = -1.21467743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08314591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21467743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.595890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54496 KachelY 50656 2.08314591 -1.21467743 119.355469 -69.595890
    Oben rechts KachelX + 1 54497 KachelY 50656 2.08324178 -1.21467743 119.360962 -69.595890
    Unten links KachelX 54496 KachelY + 1 50657 2.08314591 -1.21471085 119.355469 -69.597805
    Unten rechts KachelX + 1 54497 KachelY + 1 50657 2.08324178 -1.21471085 119.360962 -69.597805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21467743--1.21471085) × R
    3.34199999998397e-05 × 6371000     		dl = 212.918819998979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21467743--1.21471085) × R
    3.34199999998397e-05 × 6371000     		dr = 212.918819998979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08314591-2.08324178) × cos(-1.21467743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348639277088577 × 6371000     		do = 212.94460658734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08314591-2.08324178) × cos(-1.21471085) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348607953765474 × 6371000     		du = 212.925474684672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21467743)-sin(-1.21471085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348639277088577-0.348607953765474)×R²
    abs(2.08324178-2.08314591)×3.13233231036825e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13233231036825e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13233231036825e-05×40589641000000     		ar = 45337.8775927735m²