Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54496 / 12959
↖ ↑ ↗
← N 80.803293°
W 30.322266°		 ← 48.81 m → N 80.803293°
W 30.319519°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
N 80.802854°
W 30.322266°		 ← 48.82 m →
2 385 m²		 N 80.802854°
W 30.319519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415775299072266 y=0.0988731384277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415775299072266 × 217)
    floor (0.415775299072266 × 131072)
    floor (54496.5)     		tx = 54496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0988731384277344 × 217)
    floor (0.0988731384277344 × 131072)
    floor (12959.5)     		ty = 12959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54496 / 12959 ti = "17/54496/12959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54496/12959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54496 ÷ 217
    54496 ÷ 131072     		x = 0.415771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12959 ÷ 217
    12959 ÷ 131072     		y = 0.0988693237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.16845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52922337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0988693237304688 × 2 - 1) × π
    0.802261352539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.52037837132369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52922337} λ = -0.52922337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52037837132369))-π/2
    2×atan(12.4333001779301)-π/2
    2×1.49053991596968-π/2
    2.98107983193935-1.57079632675     		φ = 1.41028351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52922337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.322266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41028351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.803293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54496 KachelY 12959 -0.52922337 1.41028351 -30.322266 80.803293
    Oben rechts KachelX + 1 54497 KachelY 12959 -0.52917543 1.41028351 -30.319519 80.803293
    Unten links KachelX 54496 KachelY + 1 12960 -0.52922337 1.41027584 -30.322266 80.802854
    Unten rechts KachelX + 1 54497 KachelY + 1 12960 -0.52917543 1.41027584 -30.319519 80.802854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41028351-1.41027584) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41028351-1.41027584) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52922337--0.52917543) × cos(1.41028351) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159824452374516 × 6371000     		do = 48.8145016365493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52922337--0.52917543) × cos(1.41027584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159832023775436 × 6371000     		du = 48.816814137278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41028351)-sin(1.41027584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159824452374516-0.159832023775436)×R²
    abs(-0.52917543--0.52922337)×7.57140091958708e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.57140091958708e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.57140091958708e-06×40589641000000     		ar = 2385.40494749666m²