Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54492 / 50274
↖ ↑ ↗
← S 68.851629°
E119.333496°		 ← 220.39 m → S 68.851629°
E119.338989°		 →
↑
220.37 m
↓
↑
220.37 m
↓
S 68.853611°
E119.333496°		 ← 220.37 m →
48 565 m²		 S 68.853611°
E119.338989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831489562988281 y=0.767127990722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831489562988281 × 216)
    floor (0.831489562988281 × 65536)
    floor (54492.5)     		tx = 54492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767127990722656 × 216)
    floor (0.767127990722656 × 65536)
    floor (50274.5)     		ty = 50274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54492 / 50274 ti = "16/54492/50274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54492/50274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54492 ÷ 216
    54492 ÷ 65536     		x = 0.83148193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50274 ÷ 216
    50274 ÷ 65536     		y = 0.767120361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83148193359375 × 2 - 1) × π
    0.6629638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.08276241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767120361328125 × 2 - 1) × π
    -0.53424072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67836672949741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08276241} λ = 2.08276241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67836672949741))-π/2
    2×atan(0.186678623875366)-π/2
    2×0.184554351760939-π/2
    0.369108703521879-1.57079632675     		φ = -1.20168762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08276241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.333496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20168762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.851629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54492 KachelY 50274 2.08276241 -1.20168762 119.333496 -68.851629
    Oben rechts KachelX + 1 54493 KachelY 50274 2.08285829 -1.20168762 119.338989 -68.851629
    Unten links KachelX 54492 KachelY + 1 50275 2.08276241 -1.20172221 119.333496 -68.853611
    Unten rechts KachelX + 1 54493 KachelY + 1 50275 2.08285829 -1.20172221 119.338989 -68.853611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20168762--1.20172221) × R
    3.45900000000565e-05 × 6371000     		dl = 220.37289000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20168762--1.20172221) × R
    3.45900000000565e-05 × 6371000     		dr = 220.37289000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08276241-2.08285829) × cos(-1.20168762) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.360784311412626 × 6371000     		do = 220.385630587039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08276241-2.08285829) × cos(-1.20172221) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.360752050858183 × 6371000     		du = 220.365924179612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20168762)-sin(-1.20172221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360784311412626-0.360752050858183)×R²
    abs(2.08285829-2.08276241)×3.22605544436638e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.22605544436638e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.22605544436638e-05×40589641000000     		ar = 48564.8469530704m²