Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54491 / 50653
↖ ↑ ↗
← S 69.590144°
E119.328003°		 ← 213 m → S 69.590144°
E119.333496°		 →
↑
212.98 m
↓
↑
212.98 m
↓
S 69.592059°
E119.328003°		 ← 212.98 m →
45 364 m²		 S 69.592059°
E119.333496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831474304199219 y=0.772911071777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831474304199219 × 216)
    floor (0.831474304199219 × 65536)
    floor (54491.5)     		tx = 54491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772911071777344 × 216)
    floor (0.772911071777344 × 65536)
    floor (50653.5)     		ty = 50653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54491 / 50653 ti = "16/54491/50653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54491/50653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54491 ÷ 216
    54491 ÷ 65536     		x = 0.831466674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50653 ÷ 216
    50653 ÷ 65536     		y = 0.772903442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831466674804688 × 2 - 1) × π
    0.662933349609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.08266654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772903442382812 × 2 - 1) × π
    -0.545806884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71470289940941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08266654} λ = 2.08266654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71470289940941))-π/2
    2×atan(0.180017195984195)-π/2
    2×0.178109594500703-π/2
    0.356219189001406-1.57079632675     		φ = -1.21457714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08266654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.328003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21457714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.590144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54491 KachelY 50653 2.08266654 -1.21457714 119.328003 -69.590144
    Oben rechts KachelX + 1 54492 KachelY 50653 2.08276241 -1.21457714 119.333496 -69.590144
    Unten links KachelX 54491 KachelY + 1 50654 2.08266654 -1.21461057 119.328003 -69.592059
    Unten rechts KachelX + 1 54492 KachelY + 1 50654 2.08276241 -1.21461057 119.333496 -69.592059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21457714--1.21461057) × R
    3.3430000000001e-05 × 6371000     		dl = 212.982530000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21457714--1.21461057) × R
    3.3430000000001e-05 × 6371000     		dr = 212.982530000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08266654-2.08276241) × cos(-1.21457714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348733272838046 × 6371000     		do = 213.002018041547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08266654-2.08276241) × cos(-1.21461057) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348701941311242 × 6371000     		du = 212.982881128159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21457714)-sin(-1.21461057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348733272838046-0.348701941311242)×R²
    abs(2.08276241-2.08266654)×3.13315268040681e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13315268040681e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13315268040681e-05×40589641000000     		ar = 45363.670787909m²