Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54490 / 87147
↖ ↑ ↗
← S 50.922082°
W 30.338745°		 ← 192.49 m → S 50.922082°
W 30.335999°		 →
↑
192.53 m
↓
↑
192.53 m
↓
S 50.923813°
W 30.338745°		 ← 192.49 m →
37 060 m²		 S 50.923813°
W 30.335999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415729522705078 y=0.664882659912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415729522705078 × 217)
    floor (0.415729522705078 × 131072)
    floor (54490.5)     		tx = 54490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664882659912109 × 217)
    floor (0.664882659912109 × 131072)
    floor (87147.5)     		ty = 87147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54490 / 87147 ti = "17/54490/87147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54490/87147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54490 ÷ 217
    54490 ÷ 131072     		x = 0.415725708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87147 ÷ 217
    87147 ÷ 131072     		y = 0.664878845214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415725708007812 × 2 - 1) × π
    -0.168548583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52951099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664878845214844 × 2 - 1) × π
    -0.329757690429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.03596433768903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52951099} λ = -0.52951099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03596433768903))-π/2
    2×atan(0.354883987855491)-π/2
    2×0.341019167644411-π/2
    0.682038335288822-1.57079632675     		φ = -0.88875799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52951099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.338745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88875799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.922082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54490 KachelY 87147 -0.52951099 -0.88875799 -30.338745 -50.922082
    Oben rechts KachelX + 1 54491 KachelY 87147 -0.52946306 -0.88875799 -30.335999 -50.922082
    Unten links KachelX 54490 KachelY + 1 87148 -0.52951099 -0.88878821 -30.338745 -50.923813
    Unten rechts KachelX + 1 54491 KachelY + 1 87148 -0.52946306 -0.88878821 -30.335999 -50.923813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88875799--0.88878821) × R
    3.02199999999697e-05 × 6371000     		dl = 192.531619999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88875799--0.88878821) × R
    3.02199999999697e-05 × 6371000     		dr = 192.531619999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52951099--0.52946306) × cos(-0.88875799) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.630376671744788 × 6371000     		do = 192.49310014875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52951099--0.52946306) × cos(-0.88878821) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.630353211990905 × 6371000     		du = 192.485936430681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88875799)-sin(-0.88878821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630376671744788-0.630353211990905)×R²
    abs(-0.52946306--0.52951099)×2.34597538827375e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34597538827375e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34597538827375e-05×40589641000000     		ar = 37060.3187919691m²